知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′，O为A′D的中点，连接EF，EO，FO．

（Ⅰ）求证：A′D⊥EF；
（Ⅱ）求直线BD与平面OEF所成角的正弦值．

难度：中等

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2．如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B=90°，BE∥CD，且BE=2CD=2BC=2，A为BE的中点，将△EDA沿AD折到△PDA位置（如图2），使得PA⊥平面ABCD，连接PC、PB，构成一个四棱锥P-ABCD．
（Ⅰ）求证AD⊥PB；
（Ⅱ）求二面角B-PC-D的大小．

难度：中等

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3．已知四棱锥P-ABCD的正视图1是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图2、图53分别是四棱锥P-ABCD的侧视图和俯视图．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）求四棱锥P-ABCD的侧面积．

难度：中等

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4．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AC=2
3
，AA₁=
3
，AB=2，点D在棱B₁C₁上，且B₁C₁=4B₁D
（Ⅰ）求证：BD⊥A₁C
（Ⅱ）求二面角B-A₁D-C的大小．

难度：中等

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5．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点
（1）求AE与D₁F所成的角
（文科）（2）证明：AD⊥D₁F；
（理科）（2）证明：面AED⊥面A₁FD₁．

难度：中等

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6．在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=3，AA₁=3
2
，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求二面角A₁-AC-B的余弦值．

难度：中等

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7．如图甲所示，BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，OB=BC=1，OD=3OA，现将梯形ABCD沿OB折起如图乙所示的四棱锥P-OBCD，使得PC=
3
，点E是线段PB上一动点．

（1）证明：DE和PC不可能垂直；
（2）当PE=2BE时，求PD与平面CDE所成角的正弦值．

难度：中等

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