知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•包头二模）如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2
2
，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：
（1）求证：BO⊥DO；
（2）求平面DOB分割三棱柱AED-BFC所得上部分的体积．

难度：较易

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2．（2016•南通模拟）如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
（1）求三棱锥C-DD₁E的体积；
（2）求证：D₁E⊥A₁D．

难度：较易

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3．（2016•哈尔滨校级二模）棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，沿平面A₁ACC₁将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线A₁C的平面A₁CM与线段BB₁交于点M．
（Ⅰ）当M与B₁重合时，求证：MC⊥AC₁；
（Ⅱ）当平面A₁CM⊥平面A₁ACC₁时，求平面A₁CM分几何体所得两部分体积之比．

难度：中等

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4．（2016•威海二模）已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，AD=DD₁=2，BC=DC=1，DC⊥BC，AD∥BC，E，F分别为CC₁，DD₁的中点．
（I）求证：BF⊥A₁B₁；
（Ⅱ）求证：面BEF∥面AD₁C₁．

难度：中等

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5．（2015秋•新疆校级期末）如图，四边形ABCD为矩形，且AB=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，E、F为BC、AB的中点．
（1）证明：PE⊥DE；
（2）若在线段PA上存在点G，使得FG∥平面PDE．试确定点G的位置．

难度：中等

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6．如图，异面直线AB，CD互相垂直，CF是它们的公垂线段，且F为AB的中点，作DE
∥
.
CF，连接AC、BD，G为BD的中点，AB=AC=AE=BE=2．
（1）在平面ABE内是否存在一点H，使得AC∥GH？若存在，求出点H所在的位置，若不存在，请说明理由；
（2）求G-ACD的体积．

难度：较难

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7．如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，∠C₁CB=120°．
（1）探究直线BC与直线AB₁的位置关系，并说明理由；
（2）若AB₁=
6
2
AB，求二面角C-AB₁-C₁的余弦值．

难度：中等

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8．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠DAB=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD．
（1）证明：AD⊥PB；
（2）若PB=
5
2
a，求三棱锥B-PCD的体积．

难度：中等

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9．在如图所示三棱锥D-ABC中，AD⊥DC，AB=4，AD=CD=2，∠BAC=45°，平面ACD⊥平面ABC，E，F分别在BD，BC，且BE=2ED，BC=2BF．
（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）求平面AEF将三棱锥D-ABC分成两部分的体积之比．

难度：中等

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10．如图，已知在四陵锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=120°，AP=BP，∠APB=90°，PC=2．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）求二面角B-PC一D的余弦值．

难度：中等

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