知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁，
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥D-AA₁C₁的体积．

难度：较易

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2．（2016•浦东新区三模）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）求三棱锥E-PAD的体积；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．

难度：中等

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3．（2016•云南一模）如图，在三棱锥A-BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．
（I）求证：AE⊥BD；
（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B-AC-D的正弦值．

难度：中等

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4．（2016•甘肃一模）如图，在三棱锥P-ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B-PA-C为120°．
（I）证明：FG⊥AH；
（Ⅱ）求二面角A-CP-B的余弦值．

难度：中等

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5．若l，m，n为空间的三条直线，l⊥m，m⊥n，则l与n的位置关系为．

难度：中等

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6．如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=
π
4
，∠DAB=
π
3
．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．P为AC的动点，根据图乙解答下列各题：

（1）求三棱锥D-ABC的体积．
（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥BP；
（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．（2015秋•赣州期末）如图所示，四棱椎P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠PBA=∠PBC
（1）证明：PB⊥AC
（2）若PB=AB=2，∠ABC=∠PBD=60°，M为PB中点，求四面体M-ABC的体积．

难度：中等

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8．如图，四边形ABCD为平行四边形，且SD=2，SC=DC=AS=AD=
2
．平面ASD⊥平面SDC．
（1）求证：SD⊥AC；
（2）求二面角S-AB-D的余弦值．

难度：中等

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9．如图，矩形ACEF所在的平面与Rt△ABC所在的平面垂直，D是AF的中点，且AC=BC=AD=
1
2
CE．
（1）证明：DE⊥BC；
（2）求多面体BCDFE与四面体BCDF的体积比．

难度：中等

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10．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）判断AE与PD是否垂直，并说明理由；
（2）设PA=AB=2，三棱锥E-PCD的体积．

难度：中等

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