知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•湖北模拟）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
（1）证明EF∥平面SAD；
（2）设SD=2DC，求二面角A-EF-D的余弦值．

难度：中等

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2．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；
（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．

难度：中等

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3．如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2
2
，现将梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N分别为AF，BD的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCF；
（Ⅱ）若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为
2
2
，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．

难度：中等

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4．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，E为BC中点
（Ⅰ）证明：A₁C∥平面AB₁E
（Ⅱ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅲ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB=2，求直线A₁C 与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

难度：中等

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5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E、F分别是PB、CD的中点，且PB=PC=PD=4．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求证：EF∥平面PAD；
（3）求二面角A-PB-C的余弦值．

难度：中等

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6．三棱柱ABC-A₁B₁C₁，平面A₁ABB₁⊥平面ABC，AA₁=AB=2，∠A₁AB=60°，AC=BC=
2
．O，E分别是AB，CC₁中点．
（Ⅰ）求证：OE∥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）求直线BC₁与平面ABB₁A₁所成角的大小．

难度：中等

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7．（2014•陕西校级模拟）在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE=1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．
（1）证明：AE∥平面BCD；
（2）证明：平面BDE⊥平面CDE；
（3）求该几何体的体积．

难度：中等

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8．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．
（Ⅰ）若P是DF的中点，
（ⅰ）求证：BF∥平面ACP；
（ⅱ）求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值为
6
3
，求PF的长度．

难度：较难

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9．一个多面体的三视图和直观图如下：
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求证：MN⊥AH；
（3）求多面体A-CDEF的体积．

难度：中等

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10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB=1，AD=CD=2，E在线段PD上．
（Ⅰ）若E是PD的中点，试证明：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）若异面直线BC与PD所成的角为60°，求四棱锥P-ABCD的侧视图的面积．

难度：中等

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