知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（Ⅰ）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，AA₁=λAC，二面角C-A₁D-C₁的余弦值为
2
4
，求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

难度：较难

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2．（2016春•云南校级月考）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，BC=1，CC₁=2，BC₁=
3
．
（1）求证：BC₁⊥平面ABC；
（2）当二面角A-CC₁-B为
π
3
时，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

难度：中等

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3．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，E是PB的中点，F是CD上的点，PH为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PH=1，AD=
2
，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积．

难度：较难

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4．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E在B₁D₁上，且ED₁=2B₁D，AC与BD交于点O．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求三棱锥O-CED₁的体积．

难度：中等

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5．（2015秋•宜春期末）如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD，AE⊥平面ECD
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）若点M在线段AE上，AM=2ME，且CD=DE=AE，求平面BCE与平面BDM所成的锐二面角的余弦值．

难度：中等

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6．（2015秋•琼海校级月考）如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2
2
．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-CD-B的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．

难度：中等

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7．如图长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=1，BC=
2
，M是AD的中点，N是B₁C₁中点．
（1）求证：NA₁∥CM；
（2）求证：平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁；
（3）求直线A₁B和平面A₁MCN所成角．

难度：中等

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8．如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，∠DAB=60°，AA₁⊥面ABCD，且AD=AA₁=1，F为棱AA₁的中点，M为线段BD₁的中点．
（1）求证：FM⊥平面BDD₁B₁；
（2）求三棱锥D₁-BDF的体积．

难度：中等

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9．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．
（1）求证：AF⊥面EDP；
（2）设异面直线EM与AF所成的角为θ，求cosθ的最大值．

难度：中等

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10．如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB、SAC均为边长为
2
等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

难度：中等

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