知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，边长为
2
的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=
1
2
AB=1，点M在线段EC上．
（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）判断点M的位置，使得三棱锥B-CDM的体积为
2
18
．

难度：中等

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2．（2016•黔东南州模拟）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ABB₁A₁为正方形，侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（Ⅰ）求证：平面ABB₁A₁⊥BB₁C₁C；
（Ⅱ）若AB=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积．

难度：中等

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3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，且Q为AD的中点．PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）点M在线段PC上，PM=
1
3
PC，若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥M-PQB的体积．

难度：中等

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4．（2016春•周口校级月考）如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
（1）求证：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；
（2）若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．

难度：中等

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5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=2AB=2，且BC₁⊥A₁C．
（1）求证：平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁；
（2）设D是线段BB₁的中点，求三棱锥D-ABC₁的体积．

难度：中等

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6．如图，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，△BEC为等边三角形，
（1）若平面ABE⊥平面ADE，求CD长度；
（2）求直线AB与平面ADE所成角的取值范围．

难度：中等

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7．（2014秋•云南校级月考）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）点M在线段PC上，二面角M-BQ-C为60°，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求三棱锥M-BCQ的体积．

难度：中等

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8．如图已知：菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H，G分别是线段EF，BC的中点．
（1）求证：平面AHC⊥平面BCE；
（2）试问在线段EF上是否存在点M，使得MG∥平面AFD，若存在求FM的长并证明，若不存在，说明理由．

难度：中等

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9．如图（1），已知A，B，C．P四点共面，PC上AC，AB=BC，D，F分别为AC，PC的中点，DE⊥AP于E．把平面四边形ABCP沿AC折成直二面角，如图（2）．
（1）求i正：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDF⊥平面BDE；
（3）延长AB至H，使得AB=BH，如图（3）．在AP上是否存在点Q，使得平面CHQ∥平面BDE？若存在，指出Q点位置；若不存在，说明理由．

难度：较难

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10．如图所示，已知三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AB=20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角D-AP-C的正弦值．
（3）若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积．

难度：中等

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