知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ sin（θ+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ）．倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N两点
（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CPM%7C%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CPN%7C%7D$ 的值．

难度：较难

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2．已知直线l在直角坐标系xOy中的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3Da%2Btcos%5Ctheta%20%7D%7By%3Dtsin%5Ctheta%20%7D%5Cend%7Bcases%7D%28t$ 为参数，θ为倾斜角），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为ρ-ρcos²θ-4cosθ=0．
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）点Q（a，0），若直线l与曲线C交于A、B两点，求使 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CQA%7C%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%7CQB%7C%5E%7B2%7D%7D$ 为定值的值．

难度：较易

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3．已知在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程是 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D-1%2Bcos%5Ctheta%20%7D%7By%3Dsin%5Ctheta%20%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求曲线C₁与C₂交点的平面直角坐标；
（Ⅱ）点A，B分别在曲线C₁，C₂上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．

难度：较易

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4．已知曲线C的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D3cos%5Ctheta%20%7D%7By%3D2sin%5Ctheta%20%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%27%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7Dx%7D%7By%27%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dy%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 得到曲线C'，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）写出曲线C与曲线C'的极坐标的方程；
（2）若过点 $A%282%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%29$ （极坐标）且倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ 的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求 $%20%5Cfrac%20%7B%7CAP%7C%7D%7B%7CAM%7C%5Ccdot%20%7CAN%7C%7D$ 的值．

难度：较易

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5．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C₁的极坐标方程为ρ²（3+sin²θ）=12，曲线C₂的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D1%2Btcos%5Calpha%20%7D%7By%3Dtsin%5Calpha%20%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）， $%CE%B1%E2%88%88%280%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%29$ ．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；
（2）设曲线C₂与曲线C₁的交点为A，B，当 $%7CPA%7C%2B%7CPB%7C%3D%20%5Cfrac%20%7B7%7D%7B2%7D$ 时，求cosα的值．

难度：较易

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6．已知直线l的参数方程是 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7Dt%7D%7By%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7Dt%2B4%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （t是参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ）．
（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

难度：较易

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7．【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%3D2%2Bt%20%5C%5C%20y%3D2t%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ= $%20%5Cfrac%20%7B8cos%CE%B8%7D%7Bsin%5E%7B2%7D%CE%B8%7D$ ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．

难度：中等

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8．锥曲线C及直l的普通方程；
设直线l锥曲线CE，F点，求弦EF的长．

难度：较易

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9．
【题文】在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），若直线与圆相切，求实数的值.

难度：中等

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10．
【题文】在直角坐标系中，动点，分别在射线和上运动，且△的面积为．则点，的横坐标之积为_____；△周长的最小值是_____．

难度：易

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