知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知\(C_{1}\)：\( \begin{cases} \overset{x=\cos \theta }{y=\sin \theta }\end{cases}(θ\)为参数\()\)，将\(C_{1}\)上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的\( \sqrt {2}\)和\(2\)倍后得到曲线\(C_{2}\)以平面直角坐标系\(xOy\)的原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线\(l\)：\(ρ( \sqrt {2}\cos θ+\sin θ)=4\)
\((1)\)试写出曲线\(C_{1}\)的极坐标方程与曲线\(C_{2}\)的参数方程；
\((2)\)在曲线\(C_{2}\)上求一点\(P\)，使点\(P\)到直线\(l\)的距离最小，并求此最小值．

难度：中等

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2．
曲线\(C_{1}\)的极坐标方程\(ρ\cos ^{2}θ=\sin θ\)，曲线\(C_{2}\)的参数方程为\( \begin{cases} \overset{x=3-t}{y=1-t}\end{cases}\)，以极点为原点，极轴为\(x\)轴正半轴建立直角坐标系，则曲线\(C_{1}\)上的点与曲线\(C_{2}\)上的点最近的距离为______．

难度：难

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3．
已知圆\(C\)的极坐标方程为\(ρ=2\cos θ\)，直线\(l\)的参数方程为\( \begin{cases} x= \dfrac {1}{2}+ \dfrac { \sqrt {3}}{2}t \\ y= \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{2}t\end{cases}(t\)为参数\()\)，点\(A\)的极坐标为\(( \dfrac { \sqrt {2}}{2}, \dfrac {π}{4})\)，设直线\(l\)与圆\(C\)交于点\(P\)、\(Q\)两点．
\((1)\)写出圆\(C\)的直角坐标方程；
\((2)\)求\(|AP|⋅|AQ|\)的值．

难度：易

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4．
已知曲线\(C\)的极坐标方程是\(ρ=2\cos θ\)，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为\(x\)轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线\(l\)的参数方程是\( \begin{cases} x= \dfrac { \sqrt {3}}{2}t+m \\ y= \dfrac {1}{2}t\end{cases}(t\)为参数\()\)
\((1)\)求曲线\(C\)的直角坐标方程和直线\(l\)的普通方程；
\((2)\)当\(m=2\)时，直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，求\(|AB|\)的值．

难度：难

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5．
已知在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C\)的参数方程为\( \begin{cases} \overset{x=1+4\cos \theta }{y=2+4\sin \theta }\end{cases}(θ\)为参数\()\)，直线\(l\)经过定点\(P(3,5)\)，倾斜角为\( \dfrac {π}{3}\)．
\((1)\)写出直线\(l\)的参数方程和曲线\(C\)的标准方程；
\((2)\)设直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，求\(|PA|⋅|PB|\)的值．

难度：难

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6．
在极坐标系中，曲线\(C_{1}\)：\(ρ\sin ^{2}θ=4\cos θ\)，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系\(xOy\)，曲线\(C_{2}\)的参数方程为\( \begin{cases} x=2+ \dfrac {1}{2}t \\ y= \dfrac { \sqrt {3}}{2}t\end{cases}(t\)为参数\()\)．
\((1)\)求\(C_{1}\)、\(C_{2}\)的直角坐标方程；
\((2)\)若曲线\(C_{1}\)与曲线\(C_{2}\)交于\(A\)、\(B\)两点，且定点\(P\)的坐标为\((2,0)\)，求\(|PA|⋅|PB|\)的值．

难度：较易

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7．
已知\(P\)为曲线\(C： \begin{cases} \overset{x=3\cos \theta }{y=4\sin \theta }\end{cases}(θ\)为参数，\(0\leqslant θ\leqslant π)\)上一点，\(O\)为坐标原点，若直线\(OP\)的倾斜角为\( \dfrac {π}{4}\)，则\(P\)点的坐标为 ______ ．

难度：较易

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8．

下列参数方程与普通方程\(x^{2}+y-1=0\)表示同一曲线的方程是\((\)　　\()\)

A．\( \begin{cases} \overset{x=\sin t}{y=\cos ^{2}t}\end{cases}(t\)为参数\()\)

B．\( \begin{cases} \overset{x=\tan \phi }{y=1-\tan ^{2}\phi }\end{cases}(φ\)为参数\()\)

C．\( \begin{cases} x= \sqrt {1-t} \\ y=t\end{cases}(t\)为参数\()\)

D．\( \begin{cases} \overset{x=\cos \theta }{y=\sin ^{2}\theta }\end{cases}(θ\)为参数\()\)

难度：易

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9．
在直角坐标系\(xOy\)中，圆\(C\)的参数方程为\( \begin{cases} \overset{x=2+2\cos \theta }{y=2\sin \theta }\end{cases}(θ\)为参数\()\)；直线\(l_{1}\)的普通方程为\(x+1=0\)，以\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
\((1)\)求圆\(C\)与直线\(l_{1}\)的极坐标方程；
\((2)\)若直线\(l_{2}\)的极坐标方程为\(θ= \dfrac {π}{3}(ρ∈R)\)，且直线\(l_{2}\)与圆\(C\)交于\(O\)、\(P\)两点\((O\)为坐标原点\()\)，直线\(l_{2}\)与直线\(l_{1}\)交于点\(Q\)，求\(|PQ|\)．

难度：较易

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10．
在极坐标系中，圆\(C\)的方程为\(ρ=2a\cos θ(a > 0)\)，以极点为坐标原点，极轴为\(x\)轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线\(l\)的参数方程为\( \begin{cases} \overset{x=3t+1}{y=4t+3}\end{cases}(t\)为参数\()\)．
\((1)\)求直角坐标系下圆\(C\)的标准方程和直线\(l\)的普通方程；
\((2)\)若直线\(l\)与圆\(C\)恒有公共点，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较易

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