知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
已知动点\(P\)，\(Q\)都在曲线\(C:\begin{cases}x=2\cos t \\ y=2\sin t\end{cases} (t\)为参数\()\)上，对应参数分别为\(t=α\)与\(t=2α(0 < α < 2π)\)，\(M\)为\(PQ\)的中点．

\((1)\)求曲线\(C\)的普通方程；

\((2)\)将\(M\)到坐标原点的距离\(d\)表示为\(α\)的函数，并判断\(M\)的轨迹是否过坐标原点．

难度：难

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3．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，\(C_{1}\)的参数方程为\( \begin{cases} x=1- \dfrac { \sqrt {2}}{2}t \\ y=1+ \dfrac { \sqrt {2}}{2}t\end{cases}(t\)为参数\()\)，在以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴的极坐标系中，\(C_{2}\)的极坐标方程\(ρ^{2}-2ρ\cos θ-3=0\)．
\((1)\)求\(C_{1}\)的普通方程；\(C_{2}\)的直角坐标方程；
\((2)C_{1}\)与\(C_{2}\)有两个公共点\(A\)、\(B\)，求线段\(AB\)的长．

难度：较易

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4．
以坐标原点\(O\)为极点，\(O\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ=2(\sin θ+\cos θ+ \dfrac {1}{\rho }).\)
\((1)\)写出曲线\(C\)的参数方程；
\((2)\)在曲线\(C\)上任取一点\(P\)，过点\(P\)作\(x\)轴，\(y\)轴的垂线，垂足分别为\(A\)，\(B\)，求矩形\(OAPB\)的面积的最大值．

难度：较易

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5．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，以原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\( \begin{cases} x= \sqrt {3}\cos θ \\ y=\sin θ\end{cases}(θ\)为参数\()\)，曲线\(C_{2}\)的极坐标方程为\(ρ\cos θ-ρ\sin θ-4=0\)．
\((1)\)求曲线\(C_{1}\)的普通方程和曲线\(C_{2}\)的直角坐标方程；
\((2)\)设\(P\)为曲线\(C_{1}\)上一点，求点\(P\)到曲线\(C_{2}\)的距离\(|PQ|\)的最大值．

难度：较易

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6．
在直角坐标系\(xOy\)中，以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆\(C\)的极坐标方程为\(ρ=2\cos θ\)，\(θ∈[0, \dfrac {π}{2}].\)
\((1)\)求\(C\)的参数方程；
\((2)\)设点\(D\)在\(C\)上，\(C\)在\(D\)处的切线与直线\(l\)：\(y= \sqrt {3}x+2\)垂直，根据\((1)\)中你得到的参数方程，确定\(D\)的坐标．

难度：较易

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7．
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与\(x\)轴的正半轴重合\(.\)曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ\cos θ-ρ\sin θ+3=0\)，曲线\(D\)的参数方程为\( \begin{cases} x=2+ \sqrt {2}\cos α \\ y=1+ \sqrt {2}\sin α\end{cases}(α\)为参数\()\)．
\((1)\)将曲线\(C\)的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线\(D\)的参数方程化为普通方程；
\((2)\)若点\(P\)为直线\( \begin{cases} x=1+ \sqrt {2}t \\ y=4+ \sqrt {2}t\end{cases}(t\)为参数\()\)上的动点，点\(Q\)为曲线\(D\)上的动点，求\(P\)，\(Q\)两点间距离的最小值．

难度：较易

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8．
在平面直角坐标系中\(.\)直线\(l\)的参数方程为\( \begin{cases} x=-5+ \dfrac { \sqrt {2}}{2}t \\ y=-1+ \dfrac { \sqrt {2}}{2}t\end{cases}(\)其中\(t\)为参数\()\)，现以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ=4\cos θ\)．
\((1)\)写出直线\(l\)和曲线\(C\)的普通方程；
\((2)\)已知点\(P\)为曲线\(C\)上的动点，求\(P\)到直线\(l\)的距离的最大值．

难度：较易

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9．
若以直角坐标系\(xOy\)的\(O\)为极点，\(Ox\)为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线\(C\)的极坐标方程是\(ρ= \dfrac {\cos θ}{\sin ^{2}\theta }\)．
\((1)\)将曲线\(C\)的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
\((2)\)若直线\(l\)的参数方程为\( \begin{cases} x= \dfrac {3}{2}+t \\ y= \sqrt {3}t\end{cases}(t\)为参数\()\)，当直线\(l\)与曲线\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，求\(|AB|\)．

难度：较易

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10．已知曲线\(C\)的极坐标方程是\(ρ=2\cos θ\)，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为\(x\)轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线\(L\)的参数方程是\( \begin{cases} x= \dfrac { \sqrt {3}}{2}t+m \\ y= \dfrac {1}{2}t\end{cases}(t\)为参数\()\)．
\((1)\)求曲线\(C\)的直角坐标方程和直线\(L\)的普通方程；
\((2)\)设点\(P(m,0)\)，若直线\(L\)与曲线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，且\(|PA|⋅|PB|=1\)，求实数\(m\)的值．

难度：中等

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