知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为
x=1+t
y=2+
3
t
（t为参数）
（1）写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换
x′=x
y′=
1
2
y
得到曲线C′，设M（x，y）为C′上任意一点，求x²-
3
xy+2y²的最小值，并求相应的点M的坐标．

难度：较难

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2．已知曲线C的参数方程为
x=
t2-4
t2+4
y=
8t
t2+4
（t为参数）．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）过点P（0，1）的直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的取值范围．

难度：较难

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3．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+2=0，曲线C的参数方程为
x=
3
cosα
y=sinα
（α为参数）．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（2，
π
2
），判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．

难度：中等

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4．点P在椭圆
y2
16
+
x2
9
=1上，求点P到直线3x-4y=24的最大距离和最小距离．

难度：较难

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5．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为
x=2cosθ
y=sinθ
（θ参数），直线L的极坐标方程为ρ=
3
2
cosθ+2sinθ

（Ⅰ）写出曲线C的普通方程与直线L的直角坐标方程．
（Ⅱ）P为曲线C上一点，求P到直线L距离的最小值．

难度：较难

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6．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为
x=
3
cosα
y=sinα
（α为参数）．
（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，
π
2
），判断点P与直线l的位置关系；
（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最值．
（Ⅲ）请问是否存在直线m，m∥l且m与曲线C的交点A、B满足S_△ABC=
3
4
；若存在请求出满足题意的所有直线方程，若不存在请说明理由．

难度：较难

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7．已知曲线C₁：
x=-4+cost
y=3+sint
（t为参数），C₂：
x=8cosθ
y=3sinθ
（θ为参数）
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=
π
2
，Q为C₂上的动点，求PQ的中点M到直线x-2y-7=0的距离的最小值．

难度：中等

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8．已知椭圆
x2
32
+
y2
8
=1和圆x²+（y-6）²=5，在椭圆上求一点P₁，在圆上求一点 P₂，使|P₁P₂|达到最大值，并求出此最大值．

难度：较难

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9．（1）写出椭圆
x2
9
+
y2
4
=1的参数方程；
（2）求椭圆
x2
9
+
y2
4
=1上一点P与定点（1，0）之间距离的最小值．

难度：较难

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10．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：
x=2cosα
y=3sinα
（α为参数）与极坐标下的点M(2，
π
4
)．
（1）求点M与曲线C的位置关系；
（2）在极坐标系下，将M绕极点逆时针旋转θ（θ∈[0，π]），得到点M'，若点M'在曲线C上，求θ的值．

难度：较难

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