知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f₀（x）=x（sinx+cosx），设f_n（x）是f_n-1（x）的导数，n∈N^*．
（1）求f₁（x），f₂（x）的表达式；
（2）写出f_n（x）的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：较难

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2．已知数列{a_n}满足a_n=
an+1-a-n-1
a-a-1
（n∈N^*），a≠-1，0，1，设b=a+
1
a
．
（1）求证：a_n+1=ba_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）；
（2）当n（n∈N^*）为奇数时，a_n=
n-1
2
i=0
(-1)iC

i
n-1
b^n-2i，猜想当n（n∈N^*）为偶数时，a_n关于b的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：较难

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3．变式：用数学归纳法证明1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
n
（n≥2，n∈N^*）

难度：中等

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4．设n≥2，且n∈N^*，证明：（1+
1
3
）（1+
1
5
）（1+
1
7
）…（1+
1
2n-1
）＞
2n+1
2
．

难度：中等

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5．用数学归纳法证明：
（1）2+4+6+…+2n=n²+n；
（2）1²+2²+3²+…+n²=
n(n+1)(2n+1)
6
；
（3）1³+2³+3³+…+n³=[
1
2
n（n+1）]²．

难度：中等

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6．用数学归纳法证明：当n∈N⁺时，1+2²+3³+…+nⁿ＜（n+1）ⁿ．

难度：中等

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7．用数学归纳法证明（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
）…（n-
1
n2
）=
n+1
2n
（n≥2，n∈N^*）．

难度：中等

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8．对于数列{a_n}，a₁=a+
1
a
（a＞0．，且a≠1），a_n+1=a₁-
1
an
．
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想这个数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

难度：中等

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9．有下列命题：
（1）
3
+
7
＜2+
6
；
（2）若a≥b＞0，n∈N^*，且n≥2，则有
n a
≥
n b
；
（3）1+3+5+…+（2n-1）=n²（n∈N^*）；
（4）nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ对-切n∈N^*且n≥3恒成立．
以上命题适合使用数学归纳法证明的序号是．

难度：中等

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10．证明：1×2²-2×3³+…+（2n-1）（2n）²-2n（2n+1）²=-n（n+1）（4n+3）（n∈N⁺）

难度：中等

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