知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．
用数学归纳法证明：\( \dfrac {1}{1\times 3}+ \dfrac {1}{3\times 5}+…+ \dfrac {1}{(2n-1)(2n+1)}= \dfrac {n}{2n+1}\)，\(n∈N^{*}\)．

难度：较难

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4．
设数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=2,a_{n+1}= a_{ n }^{ 2 }-na_{n}+1,n∈N^{*}\)．
\((1)\)求\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)；
\((2)\)由\((1)\)猜想\(a_{n}\)的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：较易

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5．

用数学归纳法证明\(1+2+3+4+…++(2n-1)+2n=2n^{2}+n\)，当\(n=k+1\)时左端应在\(n=k\)时的基础上加的项是\((\)　　\()\)

A．\(2k+1\)

B．\(2k+2\)

C．\((2k+1)+(2k+2)\)

D．\(1\)

难度：中等

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6．
在各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)中，数列的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，满足\(S_{n}=1-na_{n}(n∈N^{*})\)
\((1)\)求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)的值；
\((2)\)由\((1)\)猜想出数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

难度：较易

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7．
数列\(\{a_{n}\}\)满足\(S_{n}=2n-a_{n}(n∈N^{*}).\)
\((\)Ⅰ\()\)计算\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，并由此猜想通项公式\(a_{n}\)；
\((\)Ⅱ\()\)用数学归纳法证明\((\)Ⅰ\()\)中的猜想．

难度：中等

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8．

对于不等式\( \sqrt {n^{2}+n} < n+1(n∈N^{*})\)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
\((1)\)当\(n=1\)时，\( \sqrt {1^{2}+1} < 1+1\)，不等式成立．
\((2)\)假设当\(n=k(k∈N^{*})\)时，不等式成立，即\( \sqrt {k^{2}+k} < k+1\)，则当\(n=k+1\)时，\( \sqrt {(k+1)^{2}+(k+1)}= \sqrt {k^{2}+3k+2} < \sqrt {(k^{2}+3k+2)+(k+2)}= \sqrt {(k+2)^{2}}=(k+1)+1\)，\(∴\)当\(n=k+1\)时，不等式成立．
则上述证法\((\)　　\()\)

A．过程全部正确

B．\(n=1\)验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从\(n=k\)到\(n=k+1\)的推理不正确

难度：中等

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9．

在数学归纳法证明“\(1+a+a^{2}+…+a^{n}= \dfrac {1-a^{n+1}}{1-a}(a\neq 1,n∈N^{*})\)”时，验证当\(n=1\)时，等式的左边为\((\)　　\()\)

A．\(1\)

B．\(1-a\)

C．\(1+a\)

D．\(1-a^{2}\)

难度：较易

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10．

用数学归纳法证明\(1+a+a^{2}+…+a^{n+1}= \dfrac {1-a^{n+2}}{1-a}(a\neq 0,1,n∈N^{*})\)，在验证\(n=1\)成立时，计算左边所得的项是\((\)　　\()\)

A．\(1\)

B．\(1+a\)

C．\(a^{2}\)

D．\(1+a+a^{2}\)

难度：易

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