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          共50条信息

            • 1．

              设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且方程\(x^{2}-a_{n}x-a_{n}=0\)有一根为\(S_{n}-1(n∈N^{*}).\)

              \((1)\)求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)；

              \((2)\)猜想数列\(\{S_{n}\}\)的通项公式，并给出证明．

              难度：中等
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            • 2．

              用数学归纳法证明\(\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋯\left(n+n\right)={2}^{n}·1·3⋯\left(2n-1\right) (n∈N* )\)时，从“\(n=k\)到\(n=k+1\)”左边需增乘的代数式为(    )

              A．\(2k+1\)   
              B． \(2(2k+1)\)   
              C．\(\dfrac{2k+1}{k+1} \)
              D．\(\dfrac{2k+3}{k+1} \)
              难度：难
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            • 3．

              已知数列\(\{x_{n}\}\)满足\({{x}_{1}}=\dfrac{{1}}{{2}}\)，\({{x}_{n+1}}=\dfrac{{1}}{{1}+{{x}_{n}}}\)，\(n∈N^{*}\)．

              \((1)\)猜想数列\(\{x_{2n}\}\)的单调性，并证明你的结论：

              \((2)\)证明：\(|{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}|\leqslant \dfrac{1}{6}{{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{n-1}}\)．

              难度：较难
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            • 4． 已知函数\(f(x)= \dfrac {3}{2}x+\ln (x-1)\)，设数列\(\{a_{n}\}\)同时满足下列两个条件：\(①a_{n} > 0(n∈N^{*})\)；\(②a_{n+1}=f′(a_{n}+1)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)试用\(a_{n}\)表示\(a_{n+1}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)记\(b_{n}=a_{2n}(n∈N^{*})\)，若数列\(\{b_{n}\}\)是递减数列，求\(a_{1}\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 5．

              一个与正整数\(n\)有关的命题，当\(n=2\)时命题成立，且由\(n=k\)时命题成立可以推得\(n=k+2\)时命题也成立，则 (    )

              A．该命题对于\(n > 2\)的自然数\(n\)都成立
              B．该命题对于所有的正偶数都成立
              C．该命题何时成立与\(k\)取值无关
              D．以上答案都不对
              难度：难
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            • 6．

              已知点\(P_{n}(a_{n},b_{n})\)满足\(a_{n+1}=a_{n}·b_{n+1}\)，\({{b}_{n+1}}=\dfrac{{{b}_{n}}}{1-4a_{n}^{2}}(n\in {{N}^{*}})\)，且点\(P_{1}\)的坐标为\((1,-1)\)，

              \((1)\)求过点\(P_{1}\)，\(P_{2}\)的直线\(l\)的方程；

              \((2)\)试用数学归纳法证明：对于\(n∈N^{*}\)，点\(P_{n}\)都在\((1)\)中的直线\(l\)上．

              难度：较易
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            • 7．

              设正项数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和为\({S}_{n} \)，且满足\({S}_{n}= \dfrac{1}{2}{{a}_{n}}^{2}+ \dfrac{n}{2}\left(n∈N*\right) \)．

              \((1)\)计算\({a}_{1}\;,\;{a}_{2\;},\;{a}_{3} \)的值，并猜想\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式；

              \((2)\)用数学归纳法证明\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式．

              难度：较易
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            • 8．

              已知\(f(n)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+(2n)^{2}\)，则\(f(k+1)\)与\(f(k)\)的关系是\((\)　　\()\)

              A．\(f(k+1)=f(k)+(2k+1)^{2}+(2k+2)^{2}\)

              B．\(f(k+1)=f(k)+(k+1)^{2}\)

              C．\(f(k+1)=f(k)+(2k+2)^{2}\)

              D．\(f(k+1)=f(k)+(2k+1)^{2}\)
              难度：易
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            • 9．

              用数学归纳法证明\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+⋯+ \dfrac{1}{{2}^{n}-1} < n\left(n∈{N}^{*}且n > 1\right) \)，第一步即证不等式________________________成立．

              难度：较易
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            • 10． 已知点\(P_{n}(a_{n},b_{n})\)满足\(a_{n+1}=a_{n}⋅b_{n+1}\)，\(b_{n+1}= \dfrac {b_{n}}{1-4 a_{ n }^{ 2 }}(n∈N^{*})\)且点\(P_{1}\)的坐标为\((1,-1)\)．
              \((1)\)求过点\(P_{1}\)，\(P_{2}\)的直线\(l\)的方程；
              \((2)\)试用数学归纳法证明：对于\(n∈N^{*}\)，点\(P_{n}\)都在\((1)\)中的直线\(l\)上．
              难度：较易
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