知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如果x是实数，且x＞-1，x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明：（1+x）ⁿ＞1+nx．

难度：中等

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2． [A]已知数列{a_n}满足a₄=20，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N⁺）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，根据计算结果，猜想a_n的表达式（不必证明）；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=a_n²-na_n+1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜测a_n与n+2的关系，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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4．用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N时，
1
n
+
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
n2
＞1．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=
1
2
，S_n=n²a_n．
（1）分别计算a₂，a₃，a₄，猜想通项公式a_n，并用数学归纳法证明之；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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6．已知f（x）=
x
ex
，定义f₁（x）=f′（x），f₂（x）=[f₁（x）]′，…，f_n+1（x）=[f_n（x）]′，n∈N．经计算f₁（x）=
1-x
ex
，f₂（x）=
x-2
ex
，f₃（x）=
3-x
ex
，…，照此规律．
（Ⅰ）请归纳出f_n（x）的表达式；
（Ⅱ）试用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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7． [B]已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=4a_n+（n-4）（n+1）（n∈N⁺）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，根据计算结果，猜想a_n的表达式（不必证明）；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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8．用数学归纳法证明6^2n-1+1（n∈N^•）能被7整除．

难度：中等

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9．变式：用数学归纳法证明1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
n
（n≥2，n∈N^*）

难度：中等

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10．已知f′（x）是函数f（x）=ln（1+x）的导函数，设g（x）=xf′（x），x≥0．
（1）证明：f（x）≥g（x）；
（2）令g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）），n∈N₊，归纳并用数学归纳法证明g_n（x）的表达式．

难度：中等

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