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          共50条信息

            • 1．
              数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=- \dfrac {2}{3}\)，其前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{n}=- \dfrac {1}{S_{n-1}+2}(n\geqslant 2)\)，
              \((1)\)计算\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(S_{3}\)，\(S_{4}\)；
              \((2)\)猜想\(S_{n}\)的表达式并用数学归纳法证明．
              难度：较易
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            • 2．
              用数学归纳法证明不等式\(1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+…+ \dfrac {1}{2^{n-1}} > \dfrac {n}{2}(n∈N^{*})\)，第二步由\(k\)到\(k+1\)时不等式左边需增加\((\)　　\()\)
              A．\( \dfrac {1}{2^{k}}\)
              B．\( \dfrac {1}{2^{k-1}+1}+ \dfrac {1}{2^{k}}\)
              C．\( \dfrac {1}{2^{k-1}+1}+ \dfrac {1}{2^{k-1}+2}+ \dfrac {1}{2^{k}}\)
              D．\( \dfrac {1}{2^{k-1}+1}+ \dfrac {1}{2^{k-1}+2}+…+ \dfrac {1}{2^{k}}\)
              难度：较易
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            • 3．
              若\(a_{1} > 0\)，\(a_{1}\neq 1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {2a_{n}}{1+a_{n}}(n=1,2,…)\)．
              \((1)\)求证：\(a_{n+1}\neq a_{n}\)；
              \((2)\)令\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，写出\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)的值，观察并归纳出这个数列的通项公式\(a_{n}\)，并用数学归纳法证明．
              难度：较易
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            • 4．
              设\(a > 0\)，\(f(x)= \dfrac {2x}{2+x}\)，令\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=f(a_{n})\)，\(n∈N^{*}\)．
              \((1)\)写出\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)的值，并猜出数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)用数学归纳法证明你的结论．
              难度：较易
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            • 5．
              数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n} > 0(n∈N^{*})\)，\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)前\(n\)项和，并且满足\(S_{n}= \dfrac {1}{2}(a_{n}+ \dfrac {1}{a_{n}}).\)求
              \((1)S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(S_{3}\)的值；
              \((2)\)猜想\(S_{n}\)的表达式，并用数学归纳法证明．
              难度：中等
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            • 6．
              某个命题与自然数\(n\)有关，若\(n=k(k∈N^{*})\)时命题成立，那么可推得当\(n=k+1\)时该命题也成立\(.\)现已知当\(n=5\)时，该命题不成立，那么可推得\((\)　　\()\)
              A．当\(n=6\)时，该命题不成立
              B．当\(n=6\)时，该命题成立
              C．当\(n=4\)时，该命题不成立
              D．当\(n=4\)时，该命题成立
              难度：较易
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            • 7．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n+1}-a_{n}=1\)，\(a_{1}=1\)，试比较\( \dfrac {1}{a_{1}}+ \dfrac {1}{a_{2}}+ \dfrac {1}{a_{3}}+…+ \dfrac {1}{a_{2^{n}}}\)与\( \dfrac {n+2}{2}(n∈N^{*})\)的大小并证明．
              难度：较易
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            • 8．
              已知\(f(n)=1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+…+ \dfrac {1}{n}(n∈N_{+})\)，用数学归纳法证明\(f(2^{n}) > \dfrac {n+1}{2}\)时，\(f(2^{k+1})-f(2^{k})\)等于 ______ ．
              难度：易
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            • 9．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(a_{1}=1,S_{n}=n^{2}a_{n}(n∈N_{+})\)
              \((1)\)试求出\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(S_{3}\)，\(S_{4}\)，并猜想\(S_{n}\)的表达式；
              \((2)\)证明你的猜想，并求出\(a_{n}\)的表达式．
              难度：较易
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            • 10．
              某个命题与正整数\(n\)有关，如果当\(n=k(k∈N_{+})\)时命题成立，那么可推得当\(n=k+1\)时命题也成立\(.\) 现已知当\(n=7\)时该命题不成立，那么可推得\((\)　　\()\)
              A．当\(n=6\)时该命题不成立
              B．当\(n=6\)时该命题成立
              C．当\(n=8\)时该命题不成立
              D．当\(n=8\)时该命题成立
              难度：较易
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