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          共50条信息

            • 1． 数列{an}满足an+5an+1=36n+18，n∈N*，且a1=4．
              （1）写出{an}的前3项，并猜想其通项公式；
              （2）用数学归纳法证明你的猜想．
              难度：较易
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            • 2． 已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
              （1）求实数m的值；
              （2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b），使得f′(x0)=
              f(b)-f(a)
              b-a
              ．试用这个结论证明：若-1＜x1＜x2，函数g(x)=
              f(x1)-f(x2)
              x1-x2
              (x-x1)+f(x1)              ，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；
              （3）已知正数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x1，x2，…，xn，都有f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）．
              难度：较难
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            • 3． 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）•…•（n+n）=2n•1•3•…•（2n﹣1）”，当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为（　　）
              A．2k+1
              B．2（2k+1）
              C．
              D．
              难度：中等
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            • 4． 在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n∈N*）的第（ii）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（　　）
              A．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）
              B．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）
              C．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）
              D．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）
              难度：中等
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            • 5． 定义
              .
              abc
              是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把
              .
              abc
              的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100-001-099，f（102）=210-0.12-198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为
              .
              a1b1c1
              ，对于n＞1且n∈N，
              .
              anbncn
              =f(
              .
              an-1bn-1cn-1
              )              ，将
              .
              anbncn
              的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为dn
              （Ⅰ）当
              .
              abc
              =636时，求
              .
              a1b1c1
              ，
              .
              a2b2c2
              及d2的值；
              （Ⅱ）若d1=6，求证：当n＞1时，dn=5；
              （Ⅲ）求证：对任意三位数
              .
              abc
              ，n≥6时，
              .
              anbncn
              =495．
              难度：中等
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            • 6． 已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）（a∈R）．
              （Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
              （Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在
              x≥0
              x-y≥0
              ，所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
              （Ⅲ）将函数y=f（x）的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数y=g（x）的图象，试证明：当a=
              1
              2
              时，[g（x）]n-g（xn）≥2n-2（n∈N+）．
              难度：较难
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            • 7． 已知fn（x）=（1+2
              		x
              ）n，n∈N*．
              （1）若g（x）=f4（x）+f5（x）+f6（x），求g（x）中含x2项的系数；
              （2）若pn是fn（x）展开式中所有无理项的二项式系数和，数列{an}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：
              (1+a1)(1+a2)…(1+an)
              a1a2…an+1
              ≤pn              ．
              难度：难
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            • 8． 数列{an}满足a1=
              1
              2
              ，an+1=
              1
              2-an
              （n∈N*）．
              （I）求数列{an}的通项公式；
              （II）证明：a1+a2+…+an＜n-ln
              n+2
              2
              ；
              （III）证明：
              n
              2
              -(
              a12
              a1+a2
              +
              a22
              a2+a3
              +…+
              an2
              an+a1
              )＜ln
              		n+1
              ．
              难度：较难
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            • 9． 已知正项数列{an}中，a1=1，an+1=1+
              an
              1+an
              (n∈N*)              ．用数学归纳法证明：an＜an+1(n∈N*)．
              难度：难
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            • 10． 下列代数式（其中k∈N*）能被9整除的是（　　）
              A．6+6•7k
              B．2+7k-1
              C．2（2+7k+1）
              D．3（2+7k）
              难度：较易
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