知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设集合M={1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S_n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T_n．
（1）求
T3
S3
，
T4
S4
，
T5
S5
，
T6
S6
的值；
（2）猜想
Tn
Sn
的表达式，并证明之．

难度：较难

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2．观察下列等式：
1=1                     第一个式子
2+3+4=9                 第二个式子
3+4+5+6+7=25            第三个式子
4+5+6+7+8+9+10=49       第四个式子
照此规律下去：
（Ⅰ）写出第五个等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．

难度：中等

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3．设数列{a_n}满足a1=2，an+1=
a
2
n
-nan+1，n∈N*．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）由（ 1）猜想a_n的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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4．定义数列如下：a₁=2，a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*，求证：
（Ⅰ）对于n∈N^*恒有a_n+1＞a_n成立；
（Ⅱ）1-
1
22015
＜
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2015
＜1．

难度：较难

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5．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N₊）．
（I）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法来证明．

难度：中等

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6．用数学归纳法证明：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）²（n∈N₊）

难度：中等

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7．用数学归纳法证明：
（1）1+2+3+…+n=
1
2
n（n+1）（n∈N^*）；
（2）1+3+5+…+（2n-1）=n²（n∈N^*）；
（3）1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1（n∈N^*）．

难度：中等

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8．设n∈N，且n＞0，试用数学归纳法证明1+2¹+2²+2³+…+2^3n-1 能被31整除．

难度：中等

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9．用数学归纳法证明斐波拉契数列的通项公式．

难度：中等

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10．用数学归纳法证明：对于任意自然数n，数11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹是133的倍数．

难度：中等

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