知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
已知数列\(\{a_{n}\}\)是首项为\(a_{1}\)，公差为\(d\)的等差数列，记其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，试用\(a_{1}\)，\(d\)，\(n\)表示\(S_{n}\)，并用数学归纳法证明．

难度：较易

解析收藏试题篮
3．
数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n}+5a_{n+1}=36n+18\)，\(n∈N^{*}\)，且\(a_{1}=4\)．
\((1)\)写出\(\{a_{n}\}\)的前\(3\)项，并猜想其通项公式；
\((2)\)用数学归纳法证明你的猜想．

难度：中等

解析收藏试题篮
4．
已知函数\(f_{0}(x)= \dfrac {cx+d}{ax+b}(a\neq 0,ac-bd\neq 0)\)，设\(f_{n}(x)\)为\(f_{n-1}(x)\)的导数，\(n∈N^{*}\)．
\((1)\)求\(f_{1}(x)\)，\(f_{2}(x)\)
\((2)\)猜想\(f_{n}(x)\)的表达式，并证明你的结论．

难度：较易

解析收藏试题篮
5．
已知\(f_{n}(x)=C_{n}^{0}x^{n}-C_{n}^{1}(x-1)^{n}+…+(-1)^{k}C_{n}^{k}(x-k)^{n}+…+(-1)^{n}C_{n}^{n}(x-n)^{n}\)，其中\(x∈R\)，\(n∈N^{*}\)，\(k∈N\)，\(k\leqslant n\)．
\((1)\)试求\(f_{1}(x)\)，\(f_{2}(x)\)，\(f_{3}(x)\)的值；
\((2)\)试猜测\(f_{n}(x)\)关于\(n\)的表达式，并证明你的结论．

难度：较易

解析收藏试题篮
6．
已知每一项都是正数的数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {a_{n+1}}{12a_{n}}(n∈N^{*}).\)
\((1)\)用数学归纳法证明：\(a_{2n+1} < a_{2n-1}\)；
\((2)\)证明：\( \dfrac {1}{6}\leqslant a_{n}\leqslant 1\)；
\((3)\)记\(S_{n}\)为数列\(\{|a_{n+1}-a_{n}|\}\)的前\(n\)项和，证明：\(S_{n} < 6(n∈N^{*}).\)

难度：中等

解析收藏试题篮
7．
设\(i\)为虚数单位，\(n\)为正整数，\(θ∈[0,2π)\)．
\((1)\)用数学归纳法证明：\((\cos θ+i\sin θ)^{n}=\cos nθ+i\sin nθ\)；
\((2)\)已知\(z= \sqrt {3}-i\)，试利用\((1)\)的结论计算\(z^{10}\)．

难度：较难

解析收藏试题篮
8．已知数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)，且\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}+2a_{n}⋅a_{n+1}-a_{n}=0\)，\(2a_{n}+b_{n}=1\)，\((n∈N^{*}).\)
\((1)\)计算\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，由此推测\(\{a_{n}\}\)的通项并给出证明；
\((2)\)证明：\((1-b_{1})(1-b_{2})+(1-b_{2})(1-b_{3})+…+(1-b_{n})(1-b_{n+1}) < 2\)．

难度：难

解析收藏试题篮
9．
已知函数\(f_{0}(x)=x(\sin x+\cos x)\)，设\(f_{n}(x)\)是\(f_{n-1}(x)\)的导数，\(n∈N^{*}\)．
\((1)\)求\(f_{1}(x)\)，\(f_{2}(x)\)的表达式；
\((2)\)写出\(f_{n}(x)\)的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：中等

解析收藏试题篮
10．设实数\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}\)满足\(a_{1}+a_{2}+…+a_{n}=0\)，且\(|a_{1}|+|a_{2}|+…+|a_{n}|\leqslant 1(n∈N^{*}\)且\(n\geqslant 2)\)，令\(b_{n}= \dfrac {a_{n}}{n}(n∈N^{*}).\)求证：\(|b_{1}+b_{2}+…+b_{n}|\leqslant \dfrac {1}{2}- \dfrac {1}{2n}(n∈N^{*}).\)

难度：较易

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷