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          共50条信息

            • 1．

              函数列\(\{f_{n}(x)\}\)满足\(f_{1}(x)= \dfrac{x}{ \sqrt{1+x^{2}}}(x > 0)\)，\(f_{n+1}(x)=f_{1}[f_{n}(x)]\)．

              \((1)\)求\(f\)\({\,\!}_{2}\)\((x)\)，\(f\)\({\,\!}_{3}\)\((x)\)；

              \((2)\)猜想\(f\)\({\,\!}_{n}\)\((x)\)的表达式，并证明．

              难度：难
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            • 2．

              用数学归纳法证明等式：\((n+1)(n+2)…(n+n)=2^{n}·1·3·…·(2n-1)\)，从\(k\)到\(k+1\)，左边需要增乘的代数式为\((\)　　\()\)

              A．\(2k+1\)     
              B．\(2(2k+1)\)      
              C．\( \dfrac{2k+1}{k+1}\)
              D．\( \dfrac{2k+3}{k+1}\)
              难度：中等
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            • 3．

              观察以下\(3\)个等式：

              \(\dfrac{1}{1\times 3}=\dfrac{1}{2\times 1+1}\)   ，

              \(\dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{3\times 5}=\dfrac{2}{2\times 2+1}\)，

              \(\dfrac{1}{1\times 3}+\dfrac{1}{3\times 5}+\dfrac{1}{5\times 7}=\dfrac{3}{2\times 3+1}\)，

              \(\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \)

              \((1)\)照以上式子规律，猜想第\(n\)个等式\((n∈N^{*})\)；

              \((2)\)用数学归纳法证明上述所猜想的第\(n\)个等式成立\((n∈N^{*}).\)

              难度：易
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            • 4．

              用数学归纳法证明不等式：\(\dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2}+···+ \dfrac{1}{2n} > \dfrac{13}{24} \) \((n > 1,n∈{N}^{*} )\)，在证明\(n=k+1\)这一步时，需要证明的不等式是(    )

              A．\(\dfrac{1}{k+1}+ \dfrac{1}{k+2}+···+ \dfrac{1}{2k} > \dfrac{13}{24} \)       

              B．\(\dfrac{1}{k+1}+ \dfrac{1}{k+3}+···+ \dfrac{1}{2k}+ \dfrac{1}{2k+1} > \dfrac{13}{24} \)

              C．\(\dfrac{1}{k+2}+ \dfrac{1}{k+3}+···+ \dfrac{1}{2k}+ \dfrac{1}{2k+1} > \dfrac{13}{24} \)

              D．\(\dfrac{1}{k+2}+ \dfrac{1}{k+3}+···+ \dfrac{1}{2k}+ \dfrac{1}{2k+1}+ \dfrac{1}{2k+2} > \dfrac{13}{24} \)
              难度：中等
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            • 5．

              \(S_{n}\)是数列\(\{a_{n}\}\)前\(n\)项和，对\(\forall n\in {{N}^{*}}\)，\(S_{n}+a_{n}=2n\)

              \((1)\)求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)；

              \((2)\)归纳数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式，并用数学归纳法证明．

              难度：较易
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            • 6．

              用数学归纳法证明\(\left(n+1\right)\left(n+2\right)···\left(n+n\right)={2}^{n}·1·3·...·\left(2n-1\right) \)，从\(k\)到\(k+1\)，左边需增乘的式子为(    )

              A．\(2k+1\) 
              B．\(2(2k+1)\) 
              C．\( \dfrac{2k+1}{k+1} \)
              D．\( \dfrac{2k+3}{k+1} \)
              难度：中等
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            • 7．

              用数学归纳法证明\(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{n}}-1} < n(n∈N^{*}\)，且\(n > 1)\)，第一步即证不等式：________成立。

              难度：难
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            • 8．

              已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，\({{a}_{1}}=3,{{a}_{n+1}}=\sqrt{a_{n}^{2}-4{{a}_{n}}+5}+2(n\in {{N}^{*}})\)。

              \((\)Ⅰ\()\)计算\({{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}\)的值；

              \((\)Ⅱ\()\)根据计算结果猜想\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式，并用数学归纳法加以证明。

              难度：易
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            • 9． 已知数列\(\{a_{n}\}\)、\(\{b_{n}\}\)满足\(a_{1}=-1\)，\(b_{1}=1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {a_{n}}{1-4 b_{ n }^{ 2 }}\)，\(b_{n+1}=a_{n+1}b_{n}\)，点\(P_{n}\)的坐标为\((a_{n},b_{n})\)，且点\(P_{1}\)、\(P_{2}\)在直线\(l\)上．
              \((1)\)求直线\(l\)的方程；
              \((2)\)用数学归纳法证明：对任意\(n∈N^{*}\)，点\(P_{n}(a_{n},b_{n})\)在直线\(l\)上．
              难度：较易
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            • 10． 试从上个式子中择一，求出这个常数；
              某同学在一研究性学习，下五个式子的值等于同一个常数：
              \(\sin 2(2^{\circ})+\cos 25^{\circ}-\sin -25^{\circ})co/\!/5^{\circ}\)．
              \(\sin 218+\cos 22-si\) \(18^{\circ}cs\)空格\(12^{\circ}\)；
              \(\sin 2(-18^{\circ}\cos 248^{\circ}-\sin (18^{\circ}c/\)格\(48^{\circ}\)；
              据计算结果，将该同学的发现推为三恒等式，并明你结论．
              难度：较易
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