证明贝努利不等式：

设\(x∈R\)，且\(x > -1\)，\(x\neq 0\)，\(n∈N\)，\(n > 1\)，则\((1+x)^{n} > 1+nx\)．

一种计算装置，有一数据入口\(A\)和一个运算出口\(B\)，按照某种运算程序：

\(①\)当从入口\(A\)输入自然数\(1\)时，从出口\(B\)得到\(\dfrac{{1}}{{3}}\)，记为\(f(1)=\dfrac{1}{3}\)；

\(②\)当从入口\(A\)输入自然数\(n(n\geqslant 2)\)时，在出口\(B\)得到的结果\(f(n)\)是前一个结果\(f(n-1)\)的\(\dfrac{{2}(n-{1})-{1}}{{2}(n-{1})+{3}}\)倍\(.\)

当从入口\(A\)分别输入自然数\(2\)，\(3\)，\(4\)时，从出口\(B\)分别得到什么结果？试猜想\(f(n)\)的表达式，并证明你的结论．

设数列\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}\)，\(…\)中的每一项都不为\(0.\)求证\(\{a_{n}\}\)为等差数列的充分必要条件是：对任何\(n∈N^{*}\)，都有\(\dfrac{1}{{{a}_{1}}{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{2}}{{a}_{3}}}+\ldots +\dfrac{1}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}=\dfrac{n}{{{a}_{1}}{{a}_{n+1}}}\)

用数学归纳法证明\(1+2+3+…+n^{2}= \dfrac{n^{4}+n^{2}}{2}\)时，当\(n=k+1\)时左端在\(n=k\)时的左端加上________．

用数学归纳法证明“当\(n\)为正奇数时，\(x^{n}+y^{n}\)能被\(x+y\)整除”，第二步归纳假设应写成\((\)　　\()\)

用数学归纳法证明等式\((n+1)(n+2)…(n+n)=2^{n}·1·3·…·(2n-1)\)，第二步从\(n=k\)时到\(n=k+1\)时左端应增乘的代数式是  \((\)    \()\)

\((1)\) 选修\(4-4\)：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=-2-3t, \\ & y=2-4t. \end{cases}(t\)为参数\()\)它与曲线\(C\)：\({{(y-2)}^{2}}-{{x}^{2}}=1\)交于\(A\)、\(B\)两点．

\((\)Ⅰ\()\)求\(|AB|\)的长；

\((\)Ⅱ\()\)在以\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点\(P\)的极坐标为\(\left(2 \sqrt{2}, \dfrac{3π}{4}\right) \)，求点\(P\)到线段\(AB\)中点\(M\)的距离．

\((2)\)选修\(4-5\)：不等式选讲

\((\)Ⅰ\()\)求函数\(y=\sqrt{x-5}+\sqrt{6-x}\)的最大值；

\((\)Ⅱ\()\)已知\(x\in R\)且\(x > -1{{,}_{{}}}x\ne 0\)，\(n\)为大于\(1\)的自然数，证明：\({{(1+x)}^{n}} > 1+nx\)