已知数列\(\dfrac{1}{1\times 4}\)，\(\dfrac{1}{4\times 7}\)，\(\dfrac{1}{7\times 10}\)， \(...\) ，\(\dfrac{1}{\left( 3n-2 \right)\times \left( 3n+1 \right)}\)， \(...\)，记数列的前\(n\)项和\({S}_{n} \)．

\((\)Ⅰ\()\)计算\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(S_{3}\)，\(S_{4}\)；

\((\)Ⅱ\()\)猜想\(S_{n}\)的表达式，并用数学归纳法证明．

函数数列\(\{{{f}_{n}}(x)\}\)满足\({{f}_{1}}(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\ (x > 0)\)，\({{f}_{n+1}}(x)\)\(=\)\({{f}_{1}}[{{f}_{n}}(x)]\)．

\((\)Ⅰ\()\)求\({{f}_{2}}(x),\ {{f}_{3}}(x)\)；

\((\)Ⅱ\()\)猜想\({{f}_{n}}(x)\)的解析式，并用数学归纳法证明．

观察下列各不等式：

\(1+ \dfrac{1}{{2}^{2}} < \dfrac{3}{2} \)

\(1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}} < \dfrac{5}{3} \)

\(1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+ \dfrac{1}{{4}^{2}} < \dfrac{7}{4} \)

\(1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+ \dfrac{1}{{4}^{2}}+ \dfrac{1}{{5}^{2}} < \dfrac{9}{5} \)

\(…\)

\((1)\)由上述不等式，归纳出一个与正整数\(n\left(n\geqslant 2\right) \)有关的一般性结论；

\((2)\)用数学归纳法证明你得到的结论．

已知\(f\left( n \right)={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+\cdots +{{\left( 2n \right)}^{2}}\)，则\(f\left( k+1 \right)\)与\(f\left( k \right)\)的关系是

用数学归纳法证明：\(1+ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} +⋯⋯+ \dfrac{1}{{2}^{n}-1} < n,\left(n∈N*,n > 1\right) \)时，在第二步证明从\(n=k\)到\(n=k+1\)成立时，左边增加的项数是(    )  

下列说法正确的是____________

\(①\)在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好

\(②\)线性相关系数\(|\)\(r\)\(|\)越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

\(③\)将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；

\(④\)已知\({S}_{k}= \dfrac{1}{k+1}+ \dfrac{1}{k+2}+ \dfrac{1}{k+3}+……+ \dfrac{1}{2k} \) ，则\({{S}_{k+1}}={{S}_{k}}+\dfrac{1}{2(k+1)}\)

\(⑤\)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有\(99\%\)的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有\(99\%\)的可能患肺病

\(⑥\)三角形的面积为\(S= \dfrac{1}{2} (\)\(a\)\(+\)\(b\)\(+\)\(c\)\()⋅\)\(r\)，\((\)\(a\)，\(b\)，\(c\)为三角形的边长，\(r\)为三角形的内切圆的半径\()\)利用类比推理，可以得出四面体的体积为\(V= \dfrac{1}{3} (S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})\)\(r\)\((S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}\)分别为四面体四个面的面积，\(r\)为四面体内切球的半径\()\)

用数学归纳法证明不等式\( \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} +…+ \dfrac{1}{n+n\;} > \dfrac{1}{2} (n > 1,n∈N^{*})\)的过程中，从\(n=k\)到\(n=k+1\)时左边需增加的代数式是(    )