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          共50条信息

            • 1．

              设\(a > 0\)，且\(a\neq 1\)，\(f(x)=\dfrac{1}{{{a}^{x}}+\sqrt{a}}\)．

              \((1)\)求值：\(f(0)+f(1)\)，\(f(-1)+f(2)\)；

              \((2)\)由\((1)\)的结果归纳概括对所有实数\(x\)都成立的一个等式，并加以证明．

              难度：中等
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            • 2． 已知正项数列\(\{a_{n}\}\)中，\(S_{n}\)是其前\(n\)项的和，且\(2S_{n}=a_{n}+ \dfrac {1}{a_{n}}\)，\(n∈N^{+}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)计算出\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，然后猜想数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)用数学归纳法证明你的猜想．
              难度：较难
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            • 3．

              已知\({{a}_{n}}=3\times {{2}^{n}}-2n-3\)，\({{b}_{n}}=3\times {{2}^{n}}-2\)，试比较\(2{{a}_{n}}\)与\({{b}_{n}}\)的大小，并证明你的结论。

              难度：较难
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            • 4．

              在应用数学归纳法证明凸\(n\)边形的内角和等于\((n-2)·180^{\circ}\)时，第一步应验证 (    )

              A．\(n=0\)时结论成立
              B．\(n=1\)时结论成立
              C．\(n=2\)时结论成立
              D．\(n=3\)时结论成立
              难度：易
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            • 5． 利用数学归纳法证明“\((n+1)(n+2)…(n+n)=2^{n}×1×3×…×(2n-1)\)，\(n∈N^{*}\)”时，从“\(n=k\)”变到“\(n=k+1\)”时，左边应增乘的因式是 ______ ．
              难度：较易
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            • 6．

              设\(f\left( x \right)\)是定义在正整数集上的函数，且\(f\left( x \right)\)满足：当\(f\left( k \right)\geqslant {{k}^{2}}\)成立时，总可推出\(f\left( k+1 \right)\geqslant {{\left( k+1 \right)}^{2}}\)成立，那么下列命题总成立的是(    )

              A．若\(f\left( 1 \right) < 1\)成立，则\(f\left( 10 \right) < 100\)成立；
              B．若\(f\left( 2 \right) < 4\)成立，则\(f\left( 1 \right)\geqslant 1\)成立；
              C．若\(f\left( 3 \right)\geqslant 9\)成立，则当\(k\geqslant 1\)时，均有\(f\left( k \right)\geqslant {{k}^{2}}\)成立；
              D．若\(f\left( 4 \right)\geqslant 25\)成立，则当\(k\geqslant 4\)时，均有\(f\left( k \right)\geqslant {{k}^{2}}\)成立．
              难度：中等
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            • 7．
              记\([x]\)为不超过实数\(x\)的最大整数，例如：\([2]=2\)，\([1.5]=1\)，\([-0.3]=-1\)，设\(a\)为正整数，数列\(\{x_{n}\}\)满足：\(x_{1}=a\)，\(x_{n+1}=[ \dfrac {x_{n}+[ \dfrac {a}{x_{n}}]}{2}](n∈N^{*})\)，现有下列命题：
              \(①\)当\(a=5\)时，数列\(\{x_{n}\}\)的前\(3\)项依次为\(5\)，\(3\)，\(2\)；
              \(②\)对数列\(\{x_{n}\}\)都存在正整数\(k\)，当\(n\geqslant k\)时，总有\(x_{n}=x_{k}\)；
              \(③\)当\(n\geqslant 1\)时，\(x_{n} > \sqrt {a}-1\)；
              \(④\)对某个正整数\(k\)，若\(x_{k+1}\geqslant x_{k}\)，则\(x_{n}=[ \sqrt {a}]\)；
              其中的真命题个数为\((\)　　\()\)
              A．\(4\)
              B．\(3\)
              C．\(2\)
              D．\(1\)
              难度：较难
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            • 8．

              用数学归纳法证明\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+⋯+ \dfrac{1}{{2}^{n}-1} < n\left(n∈{N}^{*},n > 1\right) \)时，从\(n=k\)到\(n=k+1\)左边要添加的项数是  \((\)    \()\)

              A．\(2^{k}+1\) 
              B．\(2^{k}\)
              C．\(2^{k}-1\) 
              D．\(2^{k-1}\)
              难度：难
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            • 9．

              某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

              \(①\cos ^{2}13^{\circ}+\cos ^{2}73^{\circ}-\cos 13^{\circ}\cos 73^{\circ}\)；

              \(②\cos ^{2}15^{\circ}+\cos ^{2}75^{\circ}-\cos 15^{\circ}\cos 75^{\circ}\)；

              \(③\cos ^{2}28^{\circ}+\cos ^{2}88^{\circ}-\cos 28^{\circ}\cos 88^{\circ}\)；

              \(④\cos ^{2}(-18^{\circ})+\cos ^{2}42^{\circ}-\cos (-18^{\circ})\cos 42^{\circ}\)；

              \(⑤\cos ^{2}(-25^{\circ})+\cos ^{2}35^{\circ}-\cos (-25^{\circ})\cos 35^{\circ}\)．

              \((1)\)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

              \((2)\)根据\((1)\)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

              难度：难
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            • 10．

              已知\(\{f_{n}(x)\}\)满足\({{f}_{1}}(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}(x > 0)\)，且\(f_{n+1}(x)=f_{1}[f_{n}(x)]\)．

              \((1)\)求\(f_{2}(x)\)，\(f_{3}(x)\)，并猜想\(f_{n}(x)\)的表达式；

              \((2)\)用数学归纳法证明对\(f_{n}(x)\)的猜想．

              难度：中等
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