知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别F₁，F₂，点P(-1，
3
2
)是椭圆C的一点，满足
PF 1
•
PF2
=
9
4
．
（I）求椭圆C的方程．
（II）已知O为坐标原点，设A、B是椭圆E上两个动点，
PA
+
PB
=λ
PO
(0＜λ＜4，λ≠2)．求证：直线AB的斜率为定值．

难度：中等

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2．（1）定理：平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影垂直，则这条直线垂直于斜线．
试证明此定理：如图1所示：若PA⊥α，A是垂足，斜线PO∩α=O，a⊂α，a⊥AO，试证明a⊥PO

（2）如图2，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD₁，试证明动点P在线段B₁C上．

难度：中等

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3．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离比是
2
2
．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设过点Q（
2
3
，0）的直线l与曲线C交于点M，N，求证：点A（
2
，0）在以MN为直经的圆上．

难度：中等

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4．（2016•闵行区二模）已知椭圆Г：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点；
（1）求椭圆Г的方程；
（2）设点A在椭圆Г上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证：
1
OA2
+
1
OB2
为定值；
（3）设点C在椭圆Г上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD的距离为常数
3
，求动点D的轨迹方程．

难度：中等

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5．已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于
2
5
5
，且过点（1，
2
5
5
）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若
MA
=λ₁
AF
，
MB
=λ₂
BF
，求证：λ₁+λ₂为定值．

难度：中等

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6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点．
（1）求直线BE与A₁C所成角的余弦值．
（2）在线段AA₁上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出|AF|，若不存在，说明理由．

难度：较难

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7．已知抛物线C：x 2=
1
2
y，直线y=kx+2交C于M、N两点，Q是线段MN的中点，过Q作x轴的垂线交C于点T．
（1）证明：抛物线C在点T处的切线与MN平行；
（2）是否存在实数k使
TM
•
TN
=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

难度：中等

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8．已知椭圆E：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0），离心率为
2
2
，且过点A（-1，0）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）若椭圆E的任意两条互相垂直的切线相交于点P，证明：点P在一个定圆上．

难度：较难

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