知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．某地有如图所示的一块不规则的非农业用地ABCO，且AB⊥BC，OA∥BC，AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以O为顶点，开口向上，且对称轴平行于AB的抛物线的一段．当地政府为科技兴市，欲将该地规划建成一个矩形高科技工业园区PMBN，矩形的相邻两边BM，BN分别落在AB，BC上，顶点P在曲线段OC上．问应如何规划才能使矩形园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1 km²）．

难度：中等

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3．（2015秋•朔州校级期中）某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．
（1）以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求曲线AF所在抛物线的方程；
（2）求该公园的最大面积．

难度：中等

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4．已知函数g（x）=lnx+
1
x
．
（1）求g（x）的单调区间和最小值；
（2）若f（x）=g（x）-g（
1
x
），证明f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=2^x-
1
2x
．
（Ⅰ）若2′f（2t）+mf（t）≥0对于任意实数t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若g（x）=2^2x+2^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=
ln(ex)
x
，g（x）=
3
8
x²-2x+1+xf（x）．
（1）证明f（x）≤1在其定义域内恒成立；
（2）若函数y=g（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，求t的最大值．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=e^x+ax
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为0，求a的值；
（3）若对于任意x≥0，f（x）≥e^-x恒成立，求a的取值范围．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=
1
3
x³-alnx+a，a∈R，g（x）=
1
3
x³-bx²+c在点（3，g（3））处的切线方程为y=-3x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）f（x）-g（x）≥0在[1，十∞）上恒成立，求a的取值范围．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=xlnx．
（I）记函数g（x）=
ax2
2
，若∃x₀∈[1，e]使f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）记函数h（x）=（k-3）x-k+2，若x＞1时f（x）＞h（x）恒成立，求整数k的最大值．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=
1
2
x²-（a²-a）1nx-x（a≤
1
2
）．
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设g（x）=a²lnx²-x，若f（x）＞g（x）对∀x＞1恒成立．求实数a的取值范围．

难度：中等

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