知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． 2015年十一黄金周期间，渭南日报记者通过随机询问本市华山景区220名游客对景区的服务是否满意情况，得到如下的统计表：（单位：名）
男女总计
满意 100 60 160
不满意 20 40 60
总计 120 100 220
（Ⅰ）从这100名女游客中按对华山景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？
（Ⅱ）从（Ⅰ）中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选出满意与不满意的女游客一名的概率；
（Ⅲ）根据以上统计表，问有多大把握认为“游客性别与对华山景区的服务满意”有关．
附：

P（K²≥K₀） 0.050 0.025 0.010
K₀ 3.841 5.024 6.635
K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．

难度：中等

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2．某班为了调查同学们周末的运动时间，随机对该班级50名同学进行了不记名的问卷调查，得到了如下表所示的统计结果：
运动时间不超过2小时运动时间超过2小时合计
男生 10 20 30
女生 13 7 20
合计 23 27 50
（1）根据统计结果，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为该班同学周末的运动时间与性别有关？
（2）用分层抽样的方法，从男生中抽取6名同学，再从这6名同学中随机抽取2名同学，求这两名同学中恰有一位同学运动时间超过2小时的概率．
附：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．
P（K²≥k₀） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83

难度：中等

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3．（2016•沈阳一模）为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：
未发病发病合计
未注射疫苗 20 x A
注射疫苗 30 y B
合计 50 50 100
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为
2
5
．
（Ⅰ）求2×2列联表中的数据的值；
（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？
（Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？
附：Χ2=
n(ad-bc)2
(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

P（X²≤K₀） 0.05 0.01 0.005 0.001
K₀ 3.841 6.635 7.879 10.828

难度：中等

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4． “冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的慈善公益活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．
（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下2×2列联表：
接受挑战不接受挑战合计
男性 45 15 60
女性 25 15 40
合计 70 30 100
根据表中数据，能否有90%的把握认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？
附：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K²≥k₀） 0.100 0.050 0.010 0.001
k₀ 2.706 3.841 6.635 10.828

难度：中等

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5．（2015秋•葫芦岛期末）为备战“全国高中数学联赛”，我市某高中拟成立两个“数学竞赛班”，经过学校预选，选出40名学生，编成A，B两个班，分别由两位教师担任教练进行培训；经过两个月的培训，参加了市里组织的数学竞赛初赛（只有经过初赛，取得相应名次，才能取得参加省统一组织的“全国高中数学联赛”复赛资格），这40名学生的初赛成绩的茎叶图如图：
市数学会规定：140分以上（含140分）为市级一等奖，135分以上（含135分）为市级二等奖，100分以上（含100分）为市级三等奖．
（1）由茎叶图判断A班和B班的平均分
.
xA
，
.
xB
的大小（只需写出结论）；
（2）按照规则：获得市一等奖、二等奖的同学才能获得省里组织的“全国数学联赛”复赛资格，我们称这些同学为“种子选手”，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为称为‘种子’选手”与班级有关？
A班 B班合计
种子选手
非种子选手
合计
（3）在获市级一等奖的同学中选出3人，求至少含有1名A班同学的概率．
下面临界值表仅供参考：
P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

难度：中等

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6．为研究学生语文学习水平是否对数学学习有影响，某校在期中考试后对100名学生的语文．数学成绩进行了统计，得知在语文及格的65名学生中有45人数学及格，而另外35名语文不及格的学生中数学也不及格的有20人．
（1）根据已知数据填写2×2列联表：
数学及格数学不及格总计
语文及格 65
语文不及格 35
总计 100
（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为语文学习水平与数学成绩有关，附：
①临界值表：
P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
②K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．

难度：中等

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7．汽车发动机排量可以分为两大类，高于1.6L的称为大排量，否则称为小排量，加油时，有92号与95号两种汽油可供选择，某汽车相关网站的注册会员中，有300名会员参与了网络调查，结果如下：
汽车排量
加油类型小排量大排量
92号 160 96
95号 20 24
附：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K²）≥k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
（Ⅰ）根据此次调查，是否有95%的把握认为该网站会员给汽车加油时进行的型号选择与汽车排量有关？
（Ⅱ）从调查的大排量汽车中按“加油类型”用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个整体，从中任取抽取3辆汽车，求这3辆汽车都是“加92号汽油”的概率．

难度：中等

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8．汽车发动机排量可以分为两类，高于1.6L的称为大排量，否则称为小排量，加油时，有92号与95号两种汽油可供选择，某汽车网站的注册会员中，有300名老会员参与了网络调查，结果如下：
附：K²=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K²≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
加油类型
汽车排量小排量大排量
92号 160 96
95号 20 24
（1）根据此次调查，是否有95%的把握认为该网站会员给汽车加油时进行的型号选择与汽车排量有关？
（2）将上述调查的频率视为概率，从该网站所有会员（数量最多）的“小排量汽车”和“大排量汽车”中分别抽出2辆，记X表示抽取的4辆中加95号汽油的车辆数，求X的分布列和期望．

难度：中等

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9．某班主任对全班50名学生的积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：
积极参加班级工作不太积极参加班级工作合计
学习积极性高 18 7 25
学习积极性一般 6 19 25
合计 24 26 50
试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.5%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？说明理由．

难度：中等

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10．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．
常喝不常喝合计
肥胖 2
不肥胖 18
合计 30
已知在这30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为
4
15
．
（1）请将上面的列联表补充完整．
（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．
参考数据：
P（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：K²=
n(ad-cb)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．

难度：中等

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进入组卷

	运动时间不超过2小时	运动时间超过2小时	合计
男生	10	20	30
女生	13	7	20
合计	23	27	50

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.84	5.024	6.635	7.879	10.83

	未发病	发病	合计
未注射疫苗	20	x	A
注射疫苗	30	y	B
合计	50	50	100

P（X²≤K₀）	0.05	0.01	0.005	0.001
K₀	3.841	6.635	7.879	10.828

	接受挑战	不接受挑战	合计
男性	45	15	60
女性	25	15	40
合计	70	30	100

P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.010	0.001
k₀	2.706	3.841	6.635	10.828

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	数学及格	数学不及格	总计
语文及格			65
语文不及格			35
总计			100

汽车排量加油类型	小排量	大排量
92号	160	96
95号	20	24

加油类型汽车排量	小排量	大排量
92号	160	96
95号	20	24

	男	女	总计
满意	100	60	160
不满意	20	40	60
总计	120	100	220

	A班	B班	合计
种子选手
非种子选手
合计

	积极参加班级工作	不太积极参加班级工作	合计
学习积极性高	18	7	25
学习积极性一般	6	19	25
合计	24	26	50

	常喝	不常喝	合计
肥胖		2
不肥胖		18
合计			30