知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．定义
.
abc
是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把
.
abc
的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100-001-099，f（102）=210-0.12-198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为
.
a1b1c1
，对于n＞1且n∈N，
.
anbncn
=f(
.
an-1bn-1cn-1
)，将
.
anbncn
的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d_n
（Ⅰ）当
.
abc
=636时，求
.
a1b1c1
，
.
a2b2c2
及d₂的值；
（Ⅱ）若d₁=6，求证：当n＞1时，d_n=5；
（Ⅲ）求证：对任意三位数
.
abc
，n≥6时，
.
anbncn
=495．

难度：中等

解析收藏试题篮
2． n²（n≥4，n∈N^*）个正数排成一个n行n列的数阵，A=
a11 a12 a13a14…a1n
a21 a22 a23a24…a2n
a31 a32 a33a34…a3n
… … …
an1 an2 an3an4…ann
，其中a_ij（1≤i≤n，1≤j≤n）表示该数阵中位于第i行第j列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a₂₂=6，a₃₃=16．
（Ⅰ）求a₁₁和a_ij．
（Ⅱ）设A_n=a_1n+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1．
①求A_n；
②证明：当n是3的倍数时，A_n+n能被21整除．

难度：中等

解析收藏试题篮
3．数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=
bn
1+2bn

（1）求b₂、b₃、b₄并猜想数列{b_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想；
（3）设c_n=b_nb_n+1，求数列{c_n} 的前n项和T_n．

难度：中等

解析收藏试题篮

4．等式1²+2²+3²+…+n²=

（5n²-7n+4）（　　）

A．n为任何正整数都成立

B．仅当n=1，2，3时成立

C．当n=4时成立，n=5时不成立

D．仅当n=4时不成立

难度：中等

解析收藏试题篮

5．用数学归纳法证明：
（1）2+4+6+…+2n=n²+n；
（2）1²+2²+3²+…+n²=
n(n+1)(2n+1)
6
；
（3）1³+2³+3³+…+n³=[
1
2
n（n+1）]²．

难度：中等

解析收藏试题篮
6．用数学归纳法证明：当n∈N⁺时，1+2²+3³+…+nⁿ＜（n+1）ⁿ．

难度：中等

解析收藏试题篮
7．用数学归纳法证明（1-
1
4
）（1-
1
9
）（1-
1
16
）…（n-
1
n2
）=
n+1
2n
（n≥2，n∈N^*）．

难度：中等

解析收藏试题篮
8．对于数列{a_n}，a₁=a+
1
a
（a＞0．，且a≠1），a_n+1=a₁-
1
an
．
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想这个数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

难度：中等

解析收藏试题篮
9．有下列命题：
（1）
3
+
7
＜2+
6
；
（2）若a≥b＞0，n∈N^*，且n≥2，则有
n a
≥
n b
；
（3）1+3+5+…+（2n-1）=n²（n∈N^*）；
（4）nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ对-切n∈N^*且n≥3恒成立．
以上命题适合使用数学归纳法证明的序号是．

难度：中等

解析收藏试题篮
10．证明：1×2²-2×3³+…+（2n-1）（2n）²-2n（2n+1）²=-n（n+1）（4n+3）（n∈N⁺）

难度：中等

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷