知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=-2x²+4x．设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n（n∈N^*），且{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=（　　）

A．2-

2n-1

B．4-

2n-2

C．2-

D．4-

2n-1

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2．已知数列{a_n}：

，

，…，

+…+

，…，那么数列b_n=

anan+1

的前n项和S_n为（　　）

A．

n+1

B．

n+1

C．

4(n-1)

D．

n-1

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3．设{a_n}是公比为q（q≠1）的等比数列，若{a_n}中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称{a_n}是封闭数列．
（1）若a₁=2，q=3，判断{a_n}是否为封闭数列，并说明理由；
（2）证明{a_n}为封闭数列的充要条件是：存在整数m≥-1，使a₁=q^m；
（3）记Π_n是数列{a_n}的前n项之积，b_n=log₂Π_n，若首项a₁为正整数，公比q=2，试问：是否存在这样的封闭数列{a_n}，使
lim
n→∞
(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
)=
11
9
，若存在，求{a_n}的通项公式；若不存在，说明理由．

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4．我们规定：对于任意实数A，若存在数列{a_n}和实数x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
.
x(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2(-1)(3)(-2)(1)
，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{a_n}满足a₁=2，a_k+1=
1
1-ak
，k∈N*，b_n=
.
2(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N^*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，d_n=
.
2(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

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5．已知数列，A_n：a₁，a₂，…，a_n（n≥2，n∈N^*）是正整数1，2，3，…，n的一个全排列．若对每个k∈{2，3，…，n}都有|a_k-a_k-1|=2或3，则称A_n为H数列．
（Ⅰ）写出满足a₅=5的所有H数列A₅；
（Ⅱ）写出一个满足a_5k（k=1，2，…，403）的H数列A₂₀₁₅的通项公式；
（Ⅲ）在H数列A₂₀₁₅中，记b_k=a_5k（k=1，2，…，403）．若数列{b_k}是公差为d的等差数列，求证：d=5或-5．

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6．设S_n是各项均为非零实数的数列{a_n}的前n项和，给出如下两个命题：命题p：{a_n}是等差数列；命题q：等式
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
=
kn+b
a1an+1
对任意的n（n∈N^*）恒成立，其中k，b是常数．
（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；
（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a_n}满足条件a₁²+a_n+1²≤M，试求S_n的最大值．

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7．设函数f（x）=x（

）^x+

x+1

，A₀为坐标原点，A为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）的点，向量

k=1

Ak-1Ak

，向量

=（1，0），设θn为向量

与向量

的夹角，满足

k=1

tanθ_k＜

的最大整数n是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

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8．某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%．由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金100万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年后该项目的资金为a_n万元．
（1）写出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃，并猜想写出通项a_n．
（2）求经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过2千万元．

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9．在直角坐标平面上有一点列P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对每个正整数n，点P_n位于函数y=3x+
13
4
的图象上，且P_n的横坐标构成以-
5
2
为首项，-1为公差的等差数列{x_n}．
（1）求点P_n的坐标；
（2）设抛物线列C₁，C₂，C₃，…，C_n，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线C_n的顶点为P_n且过点D_n（0，n²+1），记过点D_n且与抛物线C_n相切的直线
的斜率为k_n，求证：
1
k 1k2
+
1
k2k3
+…+
1
kn-1 kn
＜
1
10
．

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10．已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=
2x
1-2x
，x≠
1
2
-1，x=
1
2
的图象上的任意两点，点M在直线x=
1
2
上，且
AM
=
MB
．
（1）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值；
（2）已知S₁=0，当n≥2时，Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)，设an=2Sn，T_n为数列{a_n}的前n项和，若存在正整数c，m，使得不等式
Tm-c
Tm+1-c
＜
1
2
成立，求c和m的值．
（3）在（2）的条件下，设bn=31-Sn，求所有可能的乘积b_i•b_j（1≤i≤j≤n）的和．

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