知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知数列{a_n}中a₁=2，an+1=2-
1
an
，数列{b_n}中bn=
1
an-1
，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{
1
3
bn}的前n项和，求
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
；
（Ⅲ）设T_n是数列{ (
1
3
)n•bn }的前n项和，求证：Tn＜
3
4
．

难度：较难

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2．设数列{b_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N^*，都有b_n＞0，且S_n²=b₁³+b₂³+…b_n³；数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（1+cos2
bnπ
2
）a_n+sin2
bnπ
2
，n∈N^*．
（Ⅰ）求b₁，b₂的值及数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：
a2
a1
+
a4
a3
+
a6
a5
…+
a2n
a2n-1
＜n+
19
12
对一切n∈N⁺成立．

难度：较难

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3．已知数列{a_n}是等差数列，a₅=5，若（6-a₁）
OB
=a₂
OA
+a₃
OC
，且A、B、C三点共线（O为该直线外一点）；点列（n，b_n）在函数f(x)=log
1
2
x的反函数的图象上．
（1）求a_n和b_n；
（2）记数列C_n=a_nb_n+b_n（n∈N^*），若{C_n}的前n项和为T_n，求使不等式
3-Tn
n+3
＜
1
64
成立的最小自然数n的值．

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4．数列{a_n}满足a1=
1
2
，an+1=
1
2-an
（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）证明：a1+a2+…+an＜n-ln
n+2
2
；
（III）证明：
n
2
-(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an+a1
)＜ln
n+1
．

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5．过点P₀（1，0）作曲线C：y=x³（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q₁，过Q₁作x轴的垂线交x轴于点P₁，又过P₁作曲线C的切线，切点为Q₂，过Q₂作x轴的垂线交x轴于点P₂，…，依次下去得到一系列点Q₁，Q₂，Q₃，…，设点Q_n的横坐标为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）①求和S=
1
a1
+
2
a2
+…+
n
an
；
②求证：an＞1+
n
2
(n≥2，n∈N*)．

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6．已知数列{a_n}的前n项和为Sn，
a
=(Sn，1)，
b
=(-1，2an+2n)，
a
⊥
b
．
（Ⅰ）证明数列{
an
2n-1
}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
(n-2011)an
n+1
，是否存在正整数n₀，使得对于任意的k∈N^*，都有不等式b_k≤b_n成立？若存在，求出n₀的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设T_n=|S₁|-|S₂|+…+|S_n|，求证：
T0+Sn
2
＞
2-n
1+n
an．

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7．已知点列B₁（1，b₁），B₂（2，b₂），…，B_n（n，b_n），…（n∈N^）顺次为抛物线y=
1
4
x²上的点，过点B_n（n，b_n）作抛物线y=
1
4
x²的切线交x轴于点A_n（a_n，0），点C_n（c_n，0）在x轴上，且点A_n，B_n，C_n构成以点B_n为顶点的等腰三角形．
（1）求数列{a_n}，{c_n}的通项公式；
（2）是否存在n使等腰三角形A_nB_nC_n为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
（3）设数列{
1
an•(
3
2
+cn)
}的前n项和为S_n，求证：
2
3
≤S_n＜
4
3
．

难度：较难

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8．已知数列{a_n}满足a1=3，
2-2an+1
an+1-3
=an(n∈N*)，记bn=
an-2
an+1
．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）若（4ⁿ-1）a_n≥t•2ⁿ⁺¹-17对任意n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）记cn=
3
an+1
，求证：c1•c2•c3…cn＞
7
12
．

难度：较难

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9．在单调递增数列{a_n}中，a₁=2，不等式（n+1）a_n≥na_2n对任意n∈N^*都成立．
（Ⅰ）求a₂的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{a_n}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设bn=(1+1)(1+
1
2
)…(1+
1
2n
)，cn=6(1-
1
2n
)，求证：对任意的n∈N^*，
bn-cn
an-12
≥0．

难度：较难

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10．已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f(x)=
2x
1-2x
，x≠
1
2
-1，x=
1
2
的图象上的任意两点，点M在直线x=
1
2
上，且
AM
=
MB
．
（1）求x₁+x₂的值及y₁+y₂的值；
（2）已知S₁=0，当n≥2时，Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+f(
3
n
)+…+f(
n-1
n
)，设an=2Sn，T_n为数列{a_n}的前n项和，若存在正整数c，m，使得不等式
Tm-c
Tm+1-c
＜
1
2
成立，求c和m的值．
（3）在（2）的条件下，设bn=31-Sn，求所有可能的乘积b_i•b_j（1≤i≤j≤n）的和．

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