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          共50条信息

            • 1． 已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1              的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．
              （Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
              （Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
              NA
              =λ1
              AF
              ， 
              NB
               =λ2
              BF
              ，求证：λ1+λ2为定值．
              （Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，
              OP
              •
              OQ
              +
              OP′
              •
              OQ′
               +1=0              ，若点S满足：
              OS
              = 
              OP
               +
              OQ
              ，证明：点S在椭圆C2上．
              难度：较难
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            • 2． 已知椭圆C：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1              与双曲线
              x2
              4-v
              +
              y2
              1-v
              =1(1＜v＜4)              有公共焦点，过椭圆C的右顶点B任意作直线l，设直线l交抛物线y2=2x于P、Q两点，且OP⊥OQ．
              （Ⅰ）求椭圆C的方程；
              （Ⅱ）在椭圆C上，是否存在点R（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点M、N，且△OMN的面积最大？若存在，求出点R的坐标及对应的△OMN的面积；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 3． 已知双曲线C：
              x2
              a2
              -
              y2
              b2
              =1(a＞0，b＞0)              的左、右焦点分别为F1，F2且F2恰为抛物线x=
              1
              4
              y2              的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的方程为    ．
              难度：较难
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            • 4． 如图，曲线E是由抛物线弧E1：y2=4x（0≤x≤
              2
              3
              ）与椭圆弧E2：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1（
              2
              3
              ≤x≤a）所围成的封闭曲线，且E1与E2有相同的焦点．
              （Ⅰ）求椭圆弧E2的方程；
              （Ⅱ）设过点F（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，|FA|=r1，|FB|=r2，且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r1；并求
              r1
              r2
              的取值范围．
              难度：较难
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            • 5． 已知椭圆E1：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1，E2：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =2，过E1上第一象限上一点P作E1的切线，交于E2于A，B两点．
              （Ⅰ）已知x2+y2=r2上一点P（x0，y0），则过点P（x0，y0）的切线方程为xx0+yy0=r2．类比此结论，写出椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1在其上一点P（x0，y0）的切线方程，并证明；
              （Ⅱ）求证：|AP|=|BP|．
              难度：较难
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            • 6． 已知圆M：（x-
              		2
              ）2+y2=
              7
              3
              ，椭圆C：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，左焦点与双曲线x2-y2=1的左顶点重合．
              （Ⅰ）求椭圆C的方程；
              （Ⅱ）已知直线l：y=kx与椭圆C分别交于两点A，B，与圆M分别交于两点G，H（其中点G在线段AB上）且|AG|=|BH|，求k的值．
              难度：较难
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            • 7． 已知椭圆Γ的焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），点M(1，
              3
              2
              )              在椭圆Γ上．
              （1）求椭圆Γ的方程；
              （2）设双曲线Σ：
              x2
              a2
              -
              y2
              b2
              =1（a＞0，b＞0）的顶点A、B都是曲线Γ的顶点，经过双曲线Σ的右焦点F作x轴的垂线，与Σ在第一象限内相交于N，若直线MN经过坐标原点O，求双曲线Σ的离心率．
              难度：较难
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            • 8． 设椭圆C1：
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C2：x2=4
              		3
              y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=
              1
              2
              ，过椭圆右焦点F2的直线与椭圆C交于M，N两点．
              （Ⅰ）求椭圆C的方程；
              （Ⅱ）是否存在直线，使得
              OM
              •
              ON
              =-2，若存在求出直线的方程；若不存在，说明理由．
              难度：较难
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            • 9． 如图，曲线C1是以原点O为中心、F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角，我们把由曲线C1和曲线C2合成的曲线C称为“月蚀圆”．若|AF1|=7，|AF2|=5．
              （Ⅰ）求曲线C1和C2所在的椭圆和抛物线方程；
              （Ⅱ）过F2作一条与x轴相交的直线l，分别与“月蚀圆”依次交于B、C、D、E四点，
              （1）当直线l⊥x轴时，求
              |CD|
              |BE|
              的值；
              （2）当直线l不垂直x轴时，若G为CD中点、H为BE中点，问
              |CD|•|HF2|
              |BE|•|GF2|
              是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
              难度：较难
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            • 10． 将抛物线x2=-2
              		2
              y              向上平移
              		2
              个单位长度后，抛物线过椭圆
              x2
              a2
              +
              y2
              b2
              =1              （a＞b＞0）的上顶点和左右焦点．
              （1）求椭圆方程；
              （2）若点P（m，0）满足如下条件：过点P且倾斜角为
              5
              6
              π              的直线l与椭圆相交于C、D两点，使右焦点F在以CD线段为直径的圆外，试求m的取值范围．
              难度：较难
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