知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（Ⅰ）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，AA₁=λAC，二面角C-A₁D-C₁的余弦值为
2
4
，求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

难度：较难

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2．（2016•南通模拟）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，|
AB
|=1，
A1P
=λ
A1C
(0＜λ＜1)．
（1）若λ=
1
2
，求直线PB与PD所成角的正弦值；
（2）是否存在实数λ，使得直线A₁C⊥平面PBD？并说明理由．

难度：较难

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3．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，E是PB的中点，F是CD上的点，PH为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若PH=1，AD=
2
，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积．

难度：较难

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4．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥BB₁C₁C，BC=1，AB=BB₁=2，∠BCC₁=
π
3
．
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）P是线段BB₁上的动点，当平面C₁AP⊥平面AA₁B₁B时，求线段B₁P的长；
（Ⅲ）若E为BB₁的中点，求二面角C₁-AE-A₁平面角的余弦值．

难度：较难

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5．已知如图1正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图2所示．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求三棱锥A-OCD的体积；
（3）求二面角A-BC-D的余弦．

难度：较难

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6．如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，DQ∥AP，AP=AD=2DQ=2，
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求平面PAB与平面PCQ所成锐二面角的余弦值；
（3）若E为PB中点，点F在线段CQ上，当平面AEF⊥平面PAB时，求CF的长．

难度：较难

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7．如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．
（Ⅰ）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；
（Ⅱ）证明BD∥面PEC；
（Ⅲ）求面PEC与面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值．

难度：较难

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8．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，且AB=2，AD=3，CD=1，点E、F分别在AD、BC上，满足AE=
1
3
AD，BF=
1
3
BC．现将此梯形沿EF折叠成如图所示图形，且使AD=
3
．
（1）求证：AE⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-CE-A的大小．

难度：较难

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9．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=AA₁=2，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角B-C₁D-C的正切值；
（3）设AB₁的中点为G，问：在矩形BCC₁B₁内是否存在点H，使得GH⊥平面BDC₁．若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由．

难度：较难

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10．如图（1），已知A，B，C．P四点共面，PC上AC，AB=BC，D，F分别为AC，PC的中点，DE⊥AP于E．把平面四边形ABCP沿AC折成直二面角，如图（2）．
（1）求i正：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDF⊥平面BDE；
（3）延长AB至H，使得AB=BH，如图（3）．在AP上是否存在点Q，使得平面CHQ∥平面BDE？若存在，指出Q点位置；若不存在，说明理由．

难度：较难

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