知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知$n∈N^{*}$，数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，其通项公式为${{a}_{n}}=\dfrac{1}{n}$，且$f\left(n\right)=\begin{cases}{S}_{2n},n=1 \\ {S}_{2n}-{S}_{n-1},n\geqslant 2\end{cases} $

$(1)$计算$f(1)$，$f(2)$，$f(3)$的值；

$(2)$比较$f(n)$与$1$的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：较难

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2．已知数列$\{{{a}_{n}}\}$满足${{a}_{1}}=\sqrt{2}$，$a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}=2n\left(n\geqslant 2\right) $，且${{a}_{n}} > 0$．

$(1)$求$\{{{a}_{n}}\}$的通项；

$(2)$设$\{{{a}_{n}}\}$的前$n$项和为${{S}_{n}}$，用数学归纳法证明：${{S}_{n}} < \dfrac{1}{2}{{(n+1)}^{2}}$．

难度：较难

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3．已知正项数列{a_n}中， $a_%7B1%7D%3D1%EF%BC%8Ca_%7Bn%2B1%7D%3D1%2B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B1%2Ba_%7Bn%7D%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ．用数学归纳法证明： $a_%7Bn%7D%EF%BC%9Ca_%7Bn%2B1%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ．

难度：较难

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4．证明不等式$|\sin n\theta |\leqslant n|\sin \theta {{|}_{{}}}(n\in {{N}_{+}})$．

难度：较难

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5．
等比数列$\{a_{n}$ $\}$的前$n$项和为${{S}_{n}}$，已知对任意的$n\in {{N}^{+}}$  ，点$(n,{{S}_{n}})$，均在函数$y={{b}^{x}}+r(b > 0$且$b\ne 1,b,r$均为常数$)$的图像上．

$(1)$求$r$的值；

$(11)$当$b=2$时，记 ${{b}_{n}}=2({{\log }_{2}}{{a}_{n}}+1)(n\in {{N}^{+}})$   证明：对任意的$n\in {{N}^{+}}$ ，不等式$\dfrac{{{b}_{1}}+1}{{{b}_{1}}}{ }\!\!\cdot\!\!{ }\dfrac{{{b}_{2}}+1}{{{b}_{2}}}{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\!\!\cdot\!\!{ }\dfrac{{{b}_{n}}+1}{{{b}_{n}}} > \sqrt{n+1}$成立

难度：较难

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6．
已知$f(n)=1+\dfrac{1}{{{2}^{3}}}+\dfrac{1}{{{3}^{3}}}+\dfrac{1}{{{4}^{3}}}\cdots +\dfrac{1}{{{n}^{3}}}$，$g(n)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2{{n}^{2}}}$，$n\in {{N}^{*}}$．

$(1)$当$n=1\ ,\ 2\ ,\ 3$时，试比较$f(n)$与$g(n)$的大小关系；

$(2)$猜想$f(n)$与$g(n)$的大小关系，并给出证明．

难度：较难

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7．用a，b，c，d四个不同字母组成一个含n+1（n∈N⁺）个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2时排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如图所示．记这含n+1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为a_n．
（1）试用数学归纳法证明：an=
3n+3(-1)n
4
(n∈N*，n≥1)；
（2）现从a，b，c，d四个字母组成的含n+1（n∈N^*，n≥2）个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P，求证：
2
9
≤P≤
1
3
．

难度：较难

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8．已知f（n）=1+
1
23
+
1
33
+
1
43
+…+
1
n3
，g（n）=
3
2
-
1
2n2
，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

难度：较难

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9．已知数列{a_n}，a_n≥0，a₁=0，a_n+1²+a_n+1-1=a_n²（n∈N^•）．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．Tn=
1
1+a1
+
1
(1+a1)(1+a2)
+…+
1
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
．
求证：当n∈N^•时，
（Ⅰ）a_n＜a_n+1；
（Ⅱ）S_n＞n-2．
（Ⅲ）T_n＜3．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N*），其中x₁为正实数．
（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；
（Ⅱ）证明：对一切正整数n，x_n+1≤x_n的充要条件是x₁≥2
（Ⅲ）若x₁=4，记an=lg
xn+2
xn-2
，证明数列{a_n}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式．

难度：较难

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