知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了\(100\)个蜜柚进行测重，其质量分别在\([1500,1750) ,[1750,2000) \)，\([2000,2250) ,[2250,2500) \)，\([2500,2750) ,[2750,3000) (\)单位：克\()\)中，其频率分布直方图如图所示．

\((1)\)按分层抽样的方法从质量落在\([1750,2000) ,[2000,2250) \)的蜜柚中抽取\(5\)个，再从这\(5\)个蜜柚中随机抽取\(2\)个，求这\(2\)个蜜柚质量均小于\(2000\)克的概率；

\((2)\)以各组数据的中间数代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有\(5000\)个蜜柚等待出售，某电商提出两种收购方案：

A.所有蜜柚均以\(40\)元\(/\)千克收购；

B.低于\(2250\)克的蜜柚以\(60\)元\(/\)个收购，高于或等于\(2250\)克的以\(80\)元\(/\)个收购\(.\)请你通过计算为该村选择收益最好的方案．

难度：较难

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2．
“微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的\(40\)人\((\)男、女各\(20\)人\()\)，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：

附：\({{K}^{2}}=\dfrac{n{{\left( ad-bc \right)}^{2}}}{\left( a+b \right)\left( c+d \right)\left( a+c \right)\left( b+d \right)},\)

\((1)\)已知某人一天的走路步数超过\(8000\)步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的\(2\times 2\)列联表，并据此判断能否有\(95\%\)以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

\((2)\)为了了解不同行业人群的业余时间分配情况，从上述调查的懈怠型的人员中按性别分层抽样抽取\(6\)人，再从这\(6\)人中随机抽出\(3\)名进行电话回访，求\(3\)人中至少有\(1\)人是男性的概率．

难度：较难

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3．某高校学生总数为\(8000\)人，其中一年级\(1600\)人，二年级\(3200\)人，三年级\(2000\)人，四年级\(1200\)人\(.\)为了完成一项调查，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为\(400\)的样本．
\((1)\)各个年级分别抽取了多少人？
\((2)\)若高校教职工有\(505\)人，需要抽取\(50\)个样本，你会采用哪种抽样方法，请写出具体抽样过程．

难度：较难

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4．
自\(2017\)年\(2\)月底，\(90\)多所自主招生试点高校将陆续出台\(2017\)年自主招生简章，某校高三年级选取了在期中考试中成绩优异的\(100\)名学生作为调查对象，对是否准备参加\(2017\)年的自主招生考试进行了问卷调查，其中“准备参加”“不准备参加”和“待定”的人数如表：

准备参加

不准备参加

待定

男生

\(30\)

\(6\)

\(15\)

女生

\(15\)

\(9\)

\(25\)

\((1)\)在所有参加调查的同学中，在三种类型中用分层抽样的方法抽取\(20\)人进行座谈交流，则在“准备参加”“不准备参加”和“待定”的同学中应各抽取多少人\(?\)

\((2)\)在“准备参加”的同学中用分层抽样方法抽取\(6\)人，从这\(6\)人中任意抽取\(2\)人，求至少有一名女生的概率．

难度：较难

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5．

十九大报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫工作。某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售\(.\)为了更好地销售，现从该村的蜜柏树上随机摘下了\(100\)个蜜柚进行测重，其质量分布在区间\([1500,3000]\)内\((\)单位：克\()\)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：

\((1)\)按分层抽样的方法从质量落在\([1750,2000)\)，\([2000,2250)\)的蜜柚中随机抽取\(5\)个，再从这\(5\)个蜜柚中随机抽\(2\)个，求这\(2\)个蜜柚质量均小于\(2000\)克的概率；

\((2)\)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柏树上大约还有\(5000\)个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：

A.所有蜜柚均以\(40\)元\(/\)千克收购；

B.低于\(2250\)克的蜜柚以\(60\)元\(/\)个收购，高于或等于\(2250\)的以\(80\)元\(/\)个收购．

请你通过计算为该村选择收益最好的方案．

难度：较难

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6．
为研究患肺癌与是否吸烟有关，做了一次相关调查，其中部分数据丢失，但可以确定的是不吸烟人数与吸烟人数相同，吸烟患肺癌人数占吸烟总人数的\(\dfrac{4}{{5}}\)；不吸烟的人数中，患肺癌与不患肺癌的比为\(1:4\)．

    \((1)\)若吸烟不患肺癌的有\(4\)人，现从患肺癌的人中用分层抽样的方法抽取\(5\)人，再从这\(5\)人中随机抽取\(2\)人进行调查，求这两人都是吸烟患肺癌的概率；

    \((2)\)若研究得到在犯错误概率不超过\(0.001\)的前提下，认为患肺癌与吸烟有关，则吸烟的人数至少有多少？

    附：\({{K}^{{2}}}=\dfrac{n{{(ad-bc)}^{2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，其中\(n=a+b+c+d\)．

\(P(K\geqslant k_{0})\)

\(0.100\)

\(0.050\)

\(0.010\)

\(0.001\)

\(k_{0}\)

\(2.706\)

\(3.841\)

\(6.635\)

\(10.828\)

难度：较难

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7．

海关对同时从\(A\)，\(B\)，\(C\)三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量\((\)单位：件\()\)如下表所示\(.\)工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取\(6\)件样品进行检测．

\((1)\)求这\(6\)件样品中来自\(A\)，\(B\)，\(C\)各地区商品的数量；

\((2)\)若在这\(6\)件样品中随机抽取\(2\)件送件送往甲机构进行进一步检测，求这\(2\)件亲品商品来自相同地区的概率．

难度：较难

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8．

为了了解海南省各景点在大众中的熟知度，随机对\(15\sim 65\)岁的人群抽样了人，回答问题“海南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．

组号	分组	回答正确的人数	回答正确的人数占本组的频率
第 \(1\) 组	\([15,25) \)	\(a\)	\(0.5\)
第 \(2\) 组	\([25,35) \)	\(18\)	\(x\)
第 \(3\) 组	\([35,45) \)	\(b\)	\(0.9\)
第 \(4\) 组	\([45,55) \)	\(9\)	\(0.36\)
第 \(5\) 组	\([55,65]\)	\(3\)	\(y\)

\((\)Ⅰ\()\)分别求出\(a\)，\(b\)，\(x\)，\(y\)的值；

\((\)Ⅱ\()\)从第\(2,3,4\)组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取\(6\)人，求第\(2,3,4\)组每组各抽取多少人？

\((\)Ⅲ\()\)根据频率分布直方图估算样本数据的平均数、众数、中位数；\((\)小数点后保留一位有效数字\()\)

难度：较难

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9．

某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表\((\)假设该区域空气质量指数不会超过\(300)\)：

空气质量指数

\(\left( 0,50 \right] \)

\(\left( 50,100 \right] \)

\(\left( 100,150 \right] \)

\(\left( 150,200 \right] \)

\(\left( 200,250 \right] \)

\(\left( 250,300 \right] \)

空气质量等级

\(1\) 级优

\(2\) 级良

\(3\) 级轻度

污染

\(4\) 级中度

污染

\(5\) 级重度

污染

\(6\) 级严重污染

该社团将该校区在\(2016\)年\(100\)天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．

\((\)Ⅰ\()\)请估算\(2017\)年\((\)以\(365\)天计算\()\)全年空气质量优良的天数\((\)未满一天按一天计算\()\)；

\((\)Ⅱ\()\)用分层抽样的方法共抽取\(10\)天，则空气质量指数在\((0,50]\)，\((50,100]\)，\((100,150]\)的天数中各应抽取几天？

\((\)Ⅲ\()\)已知空气质量等级为\(1\)级时不需要净化空气，空气质量等级为\(2\)级时每天需净化空气的费用为\(2000\)元，空气质量等级为\(3\)级时每天需净化空气的费用为\(4000\)元\(.\)若在\((\)Ⅱ\()\)的条件下，从空气质量指数在\(\left( 0,150 \right]\)的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为\(4000\)元的概率．

难度：较难

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10．
某市甲、乙两校高二级学生分别有\(1100\)人和\(1000\)人，为了解两校全体高二级学生期末统考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从这两所学校共抽取\(105\)名高二学生的数学成绩，并得到成绩频数分布表如下，规定考试成绩在\([120,150]\)为优秀．

甲校：

分组

\([70,80)\)

\([80,90)\)

\([90,100)\)

\([100,110)\)

\([110,120)\)

\([120,130)\)

\([130,140)\)

\([140,150)\)

频数

\(2\)

\(3\)

\(10\)

\(15\)

\(15\)

\(x\)

\(3\)

\(1\)

乙校：

分组

\([70,80)\)

\([80,90)\)

\([90,100)\)

\([100,110)\)

\([110,120)\)

\([120,130)\)

\([130,140)\)

\([140,150)\)

频数

\(1\)

\(2\)

\(9\)

\(8\)

\(10\)

\(10\)

\(y\)

\(3\)

\((1)\)求表中\(x\)与\(y\)的值；

\((2)\)由以上统计数据完成下面\(2x2\)列联表，问是否有\(99\%\)的把握认为学生数学成绩优秀与所在学校有关？

甲校

乙校

总计

优秀

\(a\)

\(b\)

\(a+b\)

非优秀

\(c\)

\(d\)

\(c+d\)

总计

\(a+c\)

\(b+d\)

\(n\)

参考公式：

\(P(K2\geqslant k0)\)

\(0.100\)

\(0.050\)

\(0.025\)

\(0.010\)

\(0.001\)

\(k0\)

\(2.706\)

\(3.841\)

\(5.024\)

\(6.635\)

\(10.828\)

\({K}^{2}= \dfrac{n(ad-bc{)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)},其中n=a+b+c+d \)

难度：较难

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0/40

进入组卷

	准备参加	不准备参加	待定
男生	\(30\)	\(6\)	\(15\)
女生	\(15\)	\(9\)	\(25\)

\(P(K\geqslant k_{0})\)	\(0.100\)	\(0.050\)	\(0.010\)	\(0.001\)
\(k_{0}\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(6.635\)	\(10.828\)

分组	\([70,80)\)	\([80,90)\)	\([90,100)\)	\([100,110)\)	\([110,120)\)	\([120,130)\)	\([130,140)\)	\([140,150)\)
频数	\(2\)	\(3\)	\(10\)	\(15\)	\(15\)	\(x\)	\(3\)	\(1\)

	甲校	乙校	总计
优秀	\(a\)	\(b\)	\(a+b\)
非优秀	\(c\)	\(d\)	\(c+d\)
总计	\(a+c\)	\(b+d\)	\(n\)

\(P(K2\geqslant k0)\)	\(0.100\)	\(0.050\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.001\)
\(k0\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(10.828\)