知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．

点$M( \sqrt {2},1)$在椭圆$C$：$ \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$上，且点$M$到椭圆两焦点的距离之和为$2 \sqrt {5}$
$(1)$求椭圆$C$的方程；
$(2)$已知动直线$y=k(x+1)$与椭圆$C$相交于$A$，$B$两点，若$P(- \dfrac {7}{3},0)$，求证：$ \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$为定值．

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2．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），P为椭圆上的顶点，且∠PF₁O=45°（O为坐标原点）．
（1）求a，b的值；
（2）已知直线l₁：y=kx+m₁与椭圆交于A，B两点，直线l₂：y=kx+m₂（m₁≠m₂）与椭圆交于C，D两点，且|AB|=|CD|．
①求m₁+m₂的值；
②求四边形ABCD的面积S的最大值．

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3．已知椭圆C：mx²+3my²=1（m＞0）的长轴长为 $2%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程和离心率．
（2）设点A（3，0），动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且点P在y轴的右侧．若BA=BP，求四边形OPAB面积的最小值．

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4．已知椭圆 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，点 $Q%28b%C2%A0%C2%A0%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bb%7D%29$ 在椭圆上，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．

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5．椭圆4x²+9y²=144内有一点P（3，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（　　）

A． $-%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$

B． $-%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$

C． $-%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B9%7D$

D． $-%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B4%7D$

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6．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ （a＞b＞0）的一个顶点为B（0，4），离心率e= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B5%7D$ ，直线l交椭圆于M、N两点．
（1）若直线l的方程为y=x-4，求弦MN的长；
（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．

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7．椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k₁和k₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如果直线l的斜率等于-1，求出k₁•k₂的值；
（3）探讨k₁+k₂是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k₁+k₂的取值范围．

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8．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知直线l过点P（-1，2），且倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B2%CF%80%7D%7B3%7D$ ，圆方程为 $%CF%81%3D2cos%28%CE%B8%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D%29$ ．
（1）求直线l的参数方程；
（2）设直线l与圆交与M、N两点，求|PM|•|PN|的值．

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9．已知圆E：（x+ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ）²+y²=16，点F（ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q．
（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）过点C（-2，0）作两条互相垂直的直线l₁，l₂，若l₁，l₂分别与轨迹Γ相交于点A，B，直线AB与x轴交于点M，过点M作直线l交轨迹Γ于G，H两点，求△OGH面积的最大值．

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10．已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的上焦点为F，左、右顶点分别为B₁，B₂，下顶点为A，直线AB₂与直线B₁F交于点P，若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAP%7D%3D2%20%5Coverrightarrow%20%7BAB_%7B2%7D%7D$ ，则椭圆的离心率为（　　）