知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y²=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y²=4x交于点B．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．

难度：难

解析收藏试题篮
2．已知直线l与抛物线y²=8x交于A．B两点，且线段AB恰好被点P（2，2）平分．
（1）求直线l的方程；
（2）抛物线上是否存在点C和D，使得C．D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，说明理由．

难度：难

解析收藏试题篮

3．设抛物线y²=2x的焦点为F，过点M（ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比 $%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3BCF%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ACF%7D%7D$ =（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B5%7D$

B． $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B7%7D$

D． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$

难度：难

解析收藏试题篮

4．若抛物线C：y²=4x上一点A到抛物线的焦点的距离为3，O为坐标原点，则直线OA的斜率为 ______ ．

难度：难

解析收藏试题篮
5．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是 ______ 米．

难度：难

解析收藏试题篮
6．如图，设抛物线c₁：y²=4mx(m＞0)的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点，离心率e= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的椭圆c₂与抛物线c₁在x轴上方的一个交点为P．
(1)当m=1时，求椭圆的方程；
(2)在(1)的条件下，直线l经过椭圆c₂的右焦点F₂，与抛物线c₁交于A₁、A₂，如果以线段A₁A₂为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；
(3)是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

难度：难

解析收藏试题篮
7．已知点A(m，4)(m＞0)在抛物线x²=4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l₁和l₂，且l₁，l₂与抛物线另一个交点分别为B、C．
(I)求证：直线BC的斜率为定值；
(II)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．

难度：难

解析收藏试题篮
8．如图，设抛物线方程为x²=2py(p＞0)，M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．
(Ⅰ)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；
(Ⅱ)已知当M点的坐标为(2，-2p)时， $%7CAB%7C%3D4%20%5Csqrt%20%7B10%7D$ ．求此时抛物线的方程；
(Ⅲ)是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x²=2py(p＞0)上，其中，点C满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ (O为坐标原点)．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：难

解析收藏试题篮
9．已知抛物线y²=-x与直线l：y=k(x+1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当三角形OAB面积等于 $%20%5Csqrt%20%7B10%7D$ 时，求k的值．

难度：难

解析收藏试题篮