已知曲线\(C\)的参数方程为\(\{\begin{matrix} x=-1+2\cos \theta \\ y=1+2\sin \theta \\\end{matrix}(\theta \)为参数\().\)以原点\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(C\)的极坐标方程；

\((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)：\(\theta =\alpha \left( \alpha \in \left[ 0,\,\pi \right),\,\rho \in R \right)\)与曲线\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点，设线段\(AB\)的中点为\(M\)，求\(\left| OM \right|\)的最大值．

在直角坐标系\(xOy\)中，已知曲线\({C}_{1}： \begin{cases}x=\cos θ, \\ y=\sin θ,\end{cases} \)  \((\)\(θ \)为参数\()\)， 以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C\)\({\,\!}_{2}\)的极坐标方程为\(2\rho \sin \left( \dfrac{\pi }{3}-\theta \right)=\sqrt{3}\)．

\((1)\)若把曲线\(C_{1}\)上各点的横坐标变为原来的\(\sqrt{3}\)倍，纵坐标不变，得到曲线\({{C}_{3}}\)，求曲线\({{C}_{3}}\)的普通方程和曲线\(C_{2}\)的直角坐标方程；

\((2)\)若曲线\(C_{2}\)与曲线\({{C}_{3}}\)相交于\(A\)，\(B\)两点，点\(M(1,0)\)，求\(|MA|+|MB|\)的值．

\((i)\)选修：坐标系与参数方程

在直角坐标系\(xOy\)中，圆\(C\)的参数方程\(\begin{cases} x=1+\cos \varphi \\ y=\sin \varphi \end{cases}(\varphi \)为参数\().\)以\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

\((\)Ⅰ\()\)求\(C\)的极坐标方程；

\((\)Ⅱ\()\)直线\(l\)的极坐标方程是\(2\rho \sin (\theta +\dfrac{\pi }{3})=3\sqrt{3}.\)记射线\(OM\)：\(\theta =\dfrac{\pi }{3}\)与\(C\)分别交于点\(O\)，\(P\)，与\(l\)交于点\(Q\)，求\(PQ\)的长．

\((ii)\)选修：不等式选讲

已知函数\(f(x)=|x+2|-|x+a|\)

\((\)Ⅰ\()\)当\(a=3\)时，解不等式\(f(x)\leqslant \dfrac{1}{2}\)；

\((\)Ⅱ\()\)若关于\(x\)的不等式\(f(x)\leqslant a\)解集为\(R\)，求\(a\)的取值范围．

\([\)选修\(4―4\)：坐标系与参数方程\(]\)

在直角坐标系\(xOy\)中，直线\({{l}_{1}}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=2+t \\ & y=kt \\ \end{cases}(\)\(t\)为参数\()\)，直线\({{l}_{2}}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=-2+m \\ & y=\dfrac{m}{k} \\ \end{cases}(m\)为参数\()\)。设\({{l}_{1}}\)与\({{l}_{2}}\)的交点为\(P\)，当\(k\)变化时，\(P\)的轨迹为曲线\(C\)。

\((1)\)写出\(C\)的普通方程；\((2)\)以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，

设\({{l}_{3}}:\rho \left( \cos \theta +\sin \theta \right)-\sqrt{2}=0\)，\(M\)为\({{l}_{3}}\)与\(C\)的交点，求\(M\)的极径。

选修\(4—4\)：坐标系与参数方程

在直角坐标系\(xoy\)中，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=a\cos t \\ & y=1+a\sin t \\ \end{cases}(t\)为参数，\(a > 0).\)在以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线\(C_{2}\)：\(ρ=4\cos θ\)．

\((\)Ⅰ\()\)说明\(C_{1}\)是哪种曲线，并将\(C_{1}\)的方程化为极坐标方程；

\((\)Ⅱ\()\)直线\(C_{3}\)的极坐标方程为\(θ=a_{0}\)，其中\(a_{0}\)满足\(\tan a_{0}=2\)，若曲线\(C_{1}\)与\(C_{2}\)的公共点都在\(C_{3}\)上，求\(a\)．

已知直线\(l\)过点\(P(1,1)\)，倾斜角\(α= \dfrac{π}{4} \)；抛物线\(y^{2}=x+1\)交直线\(l\)于\(A\)，\(B\)两点\(.\)求：

\((1)|PA|·|PB|\)的值            

\((2)\)弦\(AB\)的长度

\((3)\)弦\(AB\)的中点\(M\)的坐标

已知直线\(C\)\({\,\!}_{1}\)：\(\begin{cases}x=1+t\cos α, \\ y=t\sin α,\end{cases}(\)\(t\)为参数\()\)，圆\(C\)\({\,\!}_{2}\)：\(\begin{cases}x=\cos θ, \\ y=\sin θ,\end{cases}(\)\(θ\)为参数\()\)，

\((1)\)当\(α\)\(= \dfrac{π}{3}\)时，求\(C\)\({\,\!}_{1}\)与\(C\)\({\,\!}_{2}\)的交点坐标；

\((2)\)过坐标原点\(O\)作\(C\)\({\,\!}_{1}\)的垂线，垂足为\(A\)，\(P\)为\(OA\)的中点，当\(α\)变化时，求\(P\)点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

\((2)\)若射线\(l:θ=a (p > 0)\)分别交\({{C}_{1}},{{C}_{2}}\)于\(A,B\)两点， 求\( \dfrac{\left|OB\right|}{\left|OA\right|} \)的最大值．