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          共50条信息

            • 1．

               已知抛物线\(C:{{y}^{2}}=2x\)的焦点为\(F\)，平行于\(x\)轴的两条直线\(l\)\({\,\!}_{1}\)，\(l\)\({\,\!}_{2}\)分别交\(C\)于\(A,B\)两点，交\(C\)的准线于\(P,Q\)两点．

              \((I)\)若\(F\)在线段\(AB\)上，\(R\)是\(PQ\)的中点，证明：\(AR\)\(‖\)\(FQ\)

              \((II)\)若\(\triangle PQF\)的面积是\(\triangle ABF\)的面积的两倍，求\(AB\)中点的轨迹方程．

              难度：难
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            • 2．

              在直线坐标系\(xoy\)中，曲线\(C\)\({\,\!}_{1}\)的参数方程为\((α \)为参数\()\)。以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线\(C\)\({\,\!}_{2}\)的极坐标方程为\(ρ\sin (θ+ \dfrac{π}{4} )=2 \sqrt{2} \)．

              \((I)\)写出\(C_{1}\)的普通方程和\(C_{2}\)的直角坐标方程；

              \((II)\)设点\(P\)在\(C_{1}\)上，点\(Q\)在\(C_{2}\)上，求\(∣PQ∣\)的最小值及此时\(P\)的直角坐标．

              难度：难
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            • 3．
              设\(O\)为坐标原点，动点\(M\)在椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{2}+y^{2}=1\)上，过\(M\)做\(x\)轴的垂线，垂足为\(N\)，点\(P\)满足\( \overrightarrow{NP}= \sqrt {2} \overrightarrow{NM}\)．
              \((1)\)求点\(P\)的轨迹方程；
              \((2)\)设点\(Q\)在直线\(x=-3\)上，且\( \overrightarrow{OP}⋅ \overrightarrow{PQ}=1.\)证明：过点\(P\)且垂直于\(OQ\)的直线\(l\)过\(C\)的左焦点\(F\)．
              难度：难
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            • 4．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，焦距为\(2\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程．
              \((\)Ⅱ\()\)如图，该直线\(l\)：\(y=k_{1}x- \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)交椭圆\(E\)于\(A\)，\(B\)两点，\(C\)是椭圆\(E\)上的一点，直线\(OC\)的斜率为\(k_{2}\)，且看\(k_{1}k_{2=} \dfrac { \sqrt {2}}{4}\)，\(M\)是线段\(OC\)延长线上一点，且\(|MC|\)：\(|AB|=2\)：\(3\)，\(⊙M\)的半径为\(|MC|\)，\(OS\)，\(OT\)是\(⊙M\)的两条切线，切点分别为\(S\)，\(T\)，求\(∠SOT\)的最大值，并求取得最大值时直线\(l\)的斜率．
              难度：难
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            • 5．
              在矩形\(ABCD\)中，\(AB=1\)，\(AD=2\)，动点\(P\)在以点\(C\)为圆心且与\(BD\)相切的圆上\(.\)若\( \overrightarrow{AP}=λ \overrightarrow{AB}+μ \overrightarrow{AD}\)，则\(λ+μ\)的最大值为\((\)　　\()\)
              A．\(3\)
              B．\(2 \sqrt {2}\)
              C．\( \sqrt {5}\)
              D．\(2\)
              难度：难
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            • 6．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左焦点为\(F(-c,0)\)，右顶点为\(A\)，点\(E\)的坐标为\((0,c)\)，\(\triangle EFA\)的面积为\( \dfrac {b^{2}}{2}\)．
              \((I)\)求椭圆的离心率；
              \((II)\)设点\(Q\)在线段\(AE\)上，\(|FQ|= \dfrac {3}{2}c\)，延长线段\(FQ\)与椭圆交于点\(P\)，点\(M\)，\(N\)在\(x\)轴上，\(PM/\!/QN\)，且直线\(PM\)与直线\(QN\)间的距离为\(c\)，四边形\(PQNM\)的面积为\(3c\)．
              \((i)\)求直线\(FP\)的斜率；
              \((ii)\)求椭圆的方程．
              难度：难
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            • 7．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\(Γ\)：\( \dfrac {x^{2}}{4}+y^{2}=1\)，\(A\)为\(Γ\)的上顶点，\(P\)为\(Γ\)上异于上、下顶点的动点，\(M\)为\(x\)正半轴上的动点．
              \((1)\)若\(P\)在第一象限，且\(|OP|= \sqrt {2}\)，求\(P\)的坐标；
              \((2)\)设\(P( \dfrac {8}{5}, \dfrac {3}{5})\)，若以\(A\)、\(P\)、\(M\)为顶点的三角形是直角三角形，求\(M\)的横坐标；
              \((3)\)若\(|MA|=|MP|\)，直线\(AQ\)与\(Γ\)交于另一点\(C\)，且\( \overrightarrow{AQ}=2 \overrightarrow{AC}\)，\( \overrightarrow{PQ}=4 \overrightarrow{PM}\)，求直线\(AQ\)的方程．
              难度：难
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            • 8．
              已知\(A\)是椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{4}+ \dfrac {y^{2}}{3}=1\)的左顶点，斜率为\(k(k > 0)\)的直线交\(E\)于\(A\)，\(M\)两点，点\(N\)在\(E\)上，\(MA⊥NA\)．
              \((I)\)当\(|AM|=|AN|\)时，求\(\triangle AMN\)的面积
              \((II)\)当\(2|AM|=|AN|\)时，证明：\( \sqrt {3} < k < 2\)．
              难度：难
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            • 9．
              设圆\(x^{2}+y^{2}+2x-15=0\)的圆心为\(A\)，直线\(l\)过点\(B(1,0)\)且与\(x\)轴不重合，\(l\)交圆\(A\)于\(C\)，\(D\)两点，过\(B\)作\(AC\)的平行线交\(AD\)于点\(E\)．
              \((\)Ⅰ\()\)证明\(|EA|+|EB|\)为定值，并写出点\(E\)的轨迹方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设点\(E\)的轨迹为曲线\(C_{1}\)，直线\(l\)交\(C_{1}\)于\(M\)，\(N\)两点，过\(B\)且与\(l\)垂直的直线与圆\(A\)交于\(P\)，\(Q\)两点，求四边形\(MPNQ\)面积的取值范围．
              难度：难
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