知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（ x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f（x）=x是“似周期函数”；
③函数f（x）=2^x是“似周期函数”；
④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）

难度：较难

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2．已知函数f（x）满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2．则
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+…+
f2(2016)+f(4032)
f(4031)
= ．

难度：中等

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3．定义在R上的函数，对任意实数，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）=2，记a_n=f（n）（n∈N^*），则a₂₀₁₆= ．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=
f(x-3)，x＞0
ex+log2[8x+1×(
1
4
)-2]，x≤0
，则f（6）= ．

难度：较易

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5．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足条件以下条件：f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求f（4）的值
（2）求证：f（8）=3．
（3）求不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集．

难度：中等

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6．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）-t＞0在[-1，2]上有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）-mx的两个零点分别在区间（-1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围．

难度：较难

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7．定义在R上的函数f（x），对任意x均有f（x）=f（x+2）+f（x-2），f（2014）=2014，则f（2026）= ．

难度：较易

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8．函数f（x）对一切实数x、y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）在（0，4）上存在实数x₀，使得f（x₀）+6=ax₀成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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9．已知函数f（x）的定义域是R，对任意实数x，满足f（x+2）=-f（x），当x∈[0，4）时，f（x）=x²+2x．
（1）求证：函数f（x）是周期函数；
（2）求f（-7）．

难度：较易

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10．已知函数f（x）为R上的偶函数．且对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），则f（2007）= ．

难度：较易

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