知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知f（x）是定义在[a，b]上的函数，如果存在常数M＞0，对区间[a，b]的任意划分：a=x₀＜x₁＜…＜x_n-1＜x_n=b，和式
n
i=1
|f（x_i）-f（x_i-1）|≤M恒成立，则称f（x）为[a，b]上的“绝对差有界函数”，注：
n
i=1
a_i=a₁+a₂+…+a_n；
（1）证明函数f（x）=sinx+cosx在[-
π
2
，0]上是“绝对差有界函数”；
（2）记集合A={f（x）|存在常数k＞0，对任意的x₁，x₂∈[a，b]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立}，证明集合A中的任意函数f（x）均为“绝对差有届函数”；当[a，b]=[1，2]时，判断g（x）=
x
是否在集合A中，如果在，请证明并求k的最小值，如果不在，请说明理由；
（3）证明函数f（x）=
xcos
π
2x
0＜x≤1
0 x=0
不是[0，1]上的“绝对差有界函数．

难度：较难

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3．定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
（1）设f（x）=
x
x+1
，判断f（x）在[-
1
2
，
1
2
]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；
（2）若函数g（x）=1+2^x+a•4^x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

难度：中等

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4．已知函数f（x）的定义域为D，若同时满足以下两个条件：
①函数f（x）在D内是单调递减函数；
②存在区间[a，b]∈D，使函数f（x）在[a，b]内的值域是[-b，-a]．
那么称函数f（x）为“W函数”．
已知函数f（x）=-
x
-k为“W函数”．实数k的取值范围是．

难度：中等

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5．函数y=
4-cosx
cosx+3
的值域为．

难度：中等

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6．函数f(x)=
1
2x+1
+a为奇函数，则实数a= ；函数f（x）在[1，3]上的值域为．

难度：中等

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7．函数f（x）=
x2-3x+4
x
，g（x）=mx+2，若对任意的x₁∈[1，3]，总存在x₂∈[1，3]，使得f（x₂）＜g（x₁），则实数m的取值范围是．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=a-
1
|x|
，a∈R．
（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[
1
2
，2]，求实数a的值．
（2）设m＜n＜0，试问是否存在实数a，使函数f（x）的定义域与值域均为[m，n]？若存在，请求出a的取值范围，并指出m，n所满足的条件；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．函数f（x）=
3
x-
16-x2
的值域为．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=lgsin（
π
3
-2x）．
（1）求函数f（x）的定义域及值域；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

难度：中等

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