知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知集合A={a₁，a₂，…a_n}（n∈N^*），规定：若集合A₁∪A₂∪…∪A_m=A（m≥2，m∈N^*），则称{A₁，A₂，…，A_m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A₁=B₁，A₂=B₂，…A_m=B_m时，{A₁，A₂，…，A_m}与{B₁，B₂，…，B_m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f_n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a₁}的所有分拆为：{a₁}∪{a₁}，{a₁}∪∅，∅∪{a₃}，即f₁（2）=3．
（1）求f₂（2）；
（2）试用m、n表示f_n（m）；
（3）证明：
m
i=1
f_n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f_n（1）=1）

难度：中等

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2．对于任意的n∈N^*，记集合E_n={1，2，3，…，n}，P_n={x|x=
a
b
，a∈En，b∈En}．若集合A满足下列条件：①A⊆P_n；②∀x₁，x₂∈A，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，则称A具有性质Ω．
如当n=2时，E₂={1，2}，P₂={1，2，
1
2
，
2
2
}．∀x₁，x₂∈P₂，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，所以P₂具有性质Ω．
（Ⅰ）写出集合P₃，P₅中的元素个数，并判断P₃是否具有性质Ω．
（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．
（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P_n=A∪B，求n的最大值．

难度：较难

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3．设集合S含有n个元素，A₁，A₂，…，A_k是S的不同子集，它们两两的交集非空，而S的其他子集不能与A₁，A₂，…，A_k都相交，求证：k=2^n-1．

难度：中等

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4．已知集合S={x|-1＜x＜1}，在S中定义一种运算“*”，当a，b∈S时，a*b=
a+b
1+ab
．
（1）求证：a*b=S；
（2）求证：（a*b）*c=a*（b*c）（a，b，c∈S）

难度：中等

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5．设n∈N且n≥15，A，B都是{1，2，3，…，n}真子集，A∩B=∅，且A∪B={1，2，3，…，n}．证明：A或者B中必有两个不同数的和是完全平方数．

难度：中等

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6．已知集合A={x|x=3n-2，n∈Z}，B={y|y=3k+1，k∈Z}，证明：A=B．

难度：较易

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7．设集合A={x|x=12m+8n，m，n∈Z}，B={x|x=20p+16q，p，q∈Z}，求证：A=B．

难度：较易

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8．已知集合A={x|x=3a+5b，a，b∈Z}，B={y|y=7m+10n，m，n∈Z}，试证明：A=B．

难度：中等

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9．下列各组对象能确定一个集合的是
（1）所有很大的实数．
（2）好心的人．
（3）1，2，2，3，4，5．

难度：较难

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