知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知集合M{h（x）|h（x）的定义域为R，且对任意x都有h（-x）=-h（x）}设函数f（x）=
-2x+a
2x+1+b
（a，b为常数）．
（1）当a=b=1时，判断是否有f（x）∈M，说明理由；
（2）若函数f（x）∈M，且对任意的x都有f（x）＜sinθ成立，求θ的取值范围．

难度：较难

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2．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：
在定义域（0，+∞）内存在x₀，使函数f（x₀+1）≤f（x₀）f（1）成立；
（1）请给出一个x₀的值，使函数f(x)=
1
x
∈M；
（2）函数f（x）=x²-x-2是否是集合M中的元素？若是，请求出所有x₀组成的集合；若不是，请说明理由；
（3）设函数f(x)=
a
x2+2
∈M，求实数a的取值范围．

难度：较难

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3．若A={1，3，5，7}，B={2，4，6}，C={（x，y）|x∈A，y∈B}，列出C中的所有元素．

难度：较易

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4．已知P={x|x²-8x-20≤0}，S={x|1-m≤x≤1+m}，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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5．有限集合S中所有的元素的乘积称为数集S的“积数”，若集合M={
1
2
，
1
3
，
1
4
…，
1
99
，
1
100
}．
（1）试求M的所有子集的“积数”之和；
（2）试求M的所有偶数个元素的子集的“积数”之和．

难度：中等

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6．（1）已知集合A={a-2，a²-2，12}，且-1∈A，求实数a的值；
（2）已知全集U={2，3，a²-2a-3}，A={b，2}，∁_UA={5}，求a、b的值．

难度：较易

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7．有限非空数集A满足条件：若a∈A，则
1
1-a
∈A（a≠1）．
（1）若2∈A，试写出A中的其他元素；
（2）自己设计一个满足条件的集合A，用列举法表示出来；
（3）从上面的解答中，你能得出什么结论？并说明理由．

难度：中等

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8．设把满足条件“对任意的s，t∈（一1，1）且s≠t．都有|f（s）-f（t）|≤3|s-t|”的函数f（x）组成的集合记作集合G．
（1）分别判断函数f₁（x）=
1+x2
，f₂（x）=log₂（1+x）是否属于集合G：
（2）若f₃（x）=ax²+bx且f₃（x）∈G．求证：当x∈（-2，2）时，|f₃（x）|≤6．

难度：中等

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9．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，O是两条对角线AC与BD的交点，设A集M={A，B，C，D，O}，向量集合T={
PQ
|P、Q∈M且P、Q不重合}，求集合T中元素的个数．

难度：较易

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10．已知集合S={1，2，…，1997}，A={a₁，a₂，…，a_n}是S的子集，且具有下列性质：
“A中任意两个不同元素的和不能被117整除．”试确定A中元素个数的最大值并证明你的结论．

难度：中等

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