知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，d为常数，已知对∀n，m∈N^*，当n＞m，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d成立
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）探究：命题p：“对∀n，m∈N^*，当n＞m时，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d”是命题q：“数列{a_n}是等差数列”的充要条件吗？请证明你的结论；
（3）若正整数n，m，k成等差数列，比较S_n+S_k与2S_m的大小，并说明理由．

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2．设数列{a_n}的各项均为正数，{a_n}的前n项和Sn=
1
4
(an+1)2，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）等比数列{b_n}的各项均为正数，bnbn+1≥Sn2，n∈N^*，且存在整数k≥2，使得bkbk+1=Sk2．
（i）求数列{b_n}公比q的最小值（用k表示）；
（ii）当n≥2时，bn∈N*，求数列{b_n}的通项公式．

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3．已知数列{a_n}满足：a₁a₂…a_n=1-a_n，n∈N^*．
（1）证明：{
1
1-an
}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n=
1(n=1)
a1a2…an-1(n≥2)
（n∈N^*），S_n=T₁+T₂+…+T_n，证明：
1
2
≤S_2n-S_n＜
3
4
．

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4．已知数列{a_n}的前n项和Sn=-an-(

)n-1+2，b_n=2ⁿa_n，c_n=2a_n+1-a_n（n∈N^*）则（　　）

A．{b_n}是等差数列，{c_n}是等比数列

B．{b_n}是等比数列，{c_n}是等差数列

C．{b_n}是等差数列，{c_n}是等差数列

D．{b_n}是等比数列，{c_n}是等比数列

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5．在数列{b_n}中，a_n+3=a_n+3（n∈N₊），a₁=1，S_n是其前n项和．记b_n=
n+a cSn+a
（a≥0，c＞0，c≠1）．
（1）设数列{a_3n-2}（n∈N₊）的前n项和T_n，求T_n表达式；
（2）若S₁₅=15a₈=120，证明：{a_n}以为等差数列：
（3）若数列{b_n}为等比数列，求数列{a_n}的通项公式，并求此时实数a的值．

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6．已知各项均不为零的数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），当n≥2时，a_n，0，S_n•S_n-1成等差数列，其中S_n为数列{a_n}前n项和．
（1）用a表示a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式（用a表示）；
（3）{a_n}中是否存在连续的三项a_k-1，a_k，a_k+1为等差数列？若存在，求出k及对应的a的值；若不存在，请说明理由．

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7．已知各项均为正整数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：S_n-1+ka_n=ta_n²-1，n≥2，n∈N^*（其中k，t为常数）．
（1）若k=
1
2
，t=
1
4
，数列{a_n}是等差数列，求a₁的值；
（2）若数列{a_n}是等比数列，求证：k＜t．

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8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（其中n∈N^*）
（1）设b_n=
an
2n
，证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）设c_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•
2an+1
3n+2
（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立；
（3）设d_n=
(3n+5)•2n-1
an•an+1
，数列{d_n}的前n项和为T_n，求证：
2
5
≤T_n＜
1
2
．

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9．已知正项数列{a_n}，前n项和为S_n，且有
Sn
=λa_n+c．
（1）求证：λc≤
1
4
；
（2）若λ=1，c=0，求证：S_n≥（
n+1
2
）²；
（3）若2a₂=a₁+a₃，求证：{a_n}为等差数列．

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10．在数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，其公比为q_k，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，设b_k=
1
qk-1
．
（1）若d₁=2，求a₂的值；
（2）求证：数列{b_n}为等差数列；
（3）若q₁=2，设c_n=
bn
bn+1
，是否存在m、k（k＞m≥2，k，m∈N^*），使得c₁、c_m、c_k成等比数列，若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．

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n+a	cSn+a