知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，a_n≠0，a_na_n+1=pS_n+2，其中p为常数．
（1）证明：a_n+2-a_n=p；
（2）是否存在p，使得|a_n|为等差数列？并说明理由．

难度：中等

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2．已知各项均不为零的数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），当n≥2时，a_n，0，S_n•S_n-1成等差数列，其中S_n为数列{a_n}前n项和．
（1）用a表示a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式（用a表示）；
（3）{a_n}中是否存在连续的三项a_k-1，a_k，a_k+1为等差数列？若存在，求出k及对应的a的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．已知数列{a_n}的前n项和S_n，且S_n=2n²+3n；
（1）求它的通项a_n．
（2）若b_n=
1
an•an+1
，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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4．设正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁≠a₂．a_m、a_k、a_n是数列{a_n}中满足a_n-a_k=a_k-a_m的任意项．
（1）求证：m+n=2k；
（2）若
Sm
，
Sk
，
Sn
也成等差数列，且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：
1
Sm
+
1
Sn
≥
2
Sk
．

难度：较难

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5．已知数列{a_n}是等差数列，（1+
x
2
）^m（m∈N^*）展开式的前三项的系数分别为a₁，a₂，a₃．
（1）求（1+
x
2
）^m（m∈N^*）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）当n≥2（n∈N^*）时，试猜测
1
an
+
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
an2
与
1
3
的大小并证明．

难度：较难

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6．已知正项数列{a_n}，前n项和为S_n，且有
Sn
=λa_n+c．
（1）求证：λc≤
1
4
；
（2）若λ=1，c=0，求证：S_n≥（
n+1
2
）²；
（3）若2a₂=a₁+a₃，求证：{a_n}为等差数列．

难度：较难

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7．已知公差不为零的等差数列{a_n}的首项为2，前n项和为S_n，且数列{
Sn
an
}是等差数列，求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，
Sn
n
）（n∈N^*）均在函数y=3x-2的图象上．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）T_n是数列{
3
anan+1
}的前n项和，求使T_n＜
m
20
对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

难度：中等

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9．在等差数列{a_n}中，a_n＞0，n=1，2，3，…，且其前n项和S_n满足4S_n=a_n²+2a_n-3．求：
（1）a₁的值；
（2）数列{a_n}的通项公式．

难度：较易

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10．已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且2S_n=n（a_n-a₁）．
（1）求a₁；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列，并求其通项公式；
（3）若b_n=
an+3
an+1an+22an+1
，且b₁+b₂+…+b_n-1≤1-（k+1）b_n对一切正整数n恒成立，求k的最大值．

难度：中等

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