知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}中a₁=2，an+1=2-
1
an
，数列{b_n}中bn=
1
an-1
，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{
1
3
bn}的前n项和，求
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
；
（Ⅲ）设T_n是数列{ (
1
3
)n•bn }的前n项和，求证：Tn＜
3
4
．

难度：较难

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2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+2=2a_n（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，数列{
1
bn•bn+1
}的前n项和为T_n，证明：T_n＜1．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}满足a₁=
3
2
，且a_n+1=3a_n-1，b_n=a_n-
1
2
．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列．
（2）若不等式
bn+1
bn+1-1
≤m对∀n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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4．已知各项均为正数的数列{a_n}满足：a_n+1=
an
2
+
1
2
（n∈N₊）．
（1）若（a₁-1）（a₂-2）＜0，求a₁的范围；
（2）设max{a，b}表示a、b两数中较大的数．试证明：对任意的n∈N₊，都有a_n≤max{1，a₁}．

难度：较难

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5．已知{a_n}为等差数列，首项与公差均为非负整数，且满足
a1+a2≥7
a3≥5
，则a₃+2a₂的最小值为．

难度：较难

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6．数列{a_n}满足a1=
1
2
，an+1=
1
2-an
（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）证明：a1+a2+…+an＜n-ln
n+2
2
；
（III）证明：
n
2
-(
a12
a1+a2
+
a22
a2+a3
+…+
an2
an+a1
)＜ln
n+1
．

难度：较难

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7．已知点列B₁（1，b₁），B₂（2，b₂），…，B_n（n，b_n），…（n∈N^）顺次为抛物线y=
1
4
x²上的点，过点B_n（n，b_n）作抛物线y=
1
4
x²的切线交x轴于点A_n（a_n，0），点C_n（c_n，0）在x轴上，且点A_n，B_n，C_n构成以点B_n为顶点的等腰三角形．
（1）求数列{a_n}，{c_n}的通项公式；
（2）是否存在n使等腰三角形A_nB_nC_n为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
（3）设数列{
1
an•(
3
2
+cn)
}的前n项和为S_n，求证：
2
3
≤S_n＜
4
3
．

难度：较难

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8．已知正项数列{a_n}中a₁=2，点(
an
，an+1)在函数f(x)=
1
3
x3+x的导函数y=f'（x）图象上，数列{b_n}中，点（b_n，S_n）在直线y=-
1
2
x+3上，其中S_n是数列{b_n}的前n项和（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足cn=
1
2
anbn，且数列{c_n}的前n项和T_n，求证：Tn＜
15
4
．

难度：较难

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9．已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n=
n
n-1
a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^∗）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=
3n-1
an
（n∈N^∗），数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S₂与n的大小；
（3）令c_n=
an+1
n+1
（n∈N^*），数列{
2cn
(cn-1)2
}的前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有 T_n＜2．

难度：较难

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10．已知点集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(2x-b，1)，
n
=(1，b+1)，点列P_n（a_n，b_n）在L中，P₁为L与y轴的交点，等差数列{a_n}的公差为1，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若f(n)=
an(n=2k-1)
bn(n=2k)
(k∈N+)，是否存在k∈N₊使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
（n≥2，n∈N^*）．

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