知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，
Sn
n
）在直线y=
1
2
x+
11
2
上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=
3
(2an-11)(2an+1-11)
，求数列{b_n}的前n项和为T_n，并求使不等式T_n＞
k
20
对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

难度：中等

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2．已知数列{a_n+1}是等比数列，a₃=3，a₆=31，数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1，且nS_n+1-（n+1）S_n=
1
2
n（n+1）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=
bn
an+1
，数列{c_n}的前n项和为T_n，若不等式T_n≥m-
9
2n
对于n∈N^*恒成立，求实数m的最大值．

难度：较难

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3．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知8a₁，3a₂，2a₂成等差数列，S₄=5．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的首项为2，公差为-a₁的等差数列，其前n项和为T_n，求满足T_n-1＞0的最大正整数n．

难度：中等

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4．设{x_n}是首项为x₁=2，公比为q（q∈N^*）的等比数列，且6x₃是16x₁与2x₅的等差中项，数列{y_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*）．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）若不等式λx_ny_n-3x_n+1≤n²•2ⁿ对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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5．设正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁≠a₂．a_m、a_k、a_n是数列{a_n}中满足a_n-a_k=a_k-a_m的任意项．
（1）求证：m+n=2k；
（2）若
Sm
，
Sk
，
Sn
也成等差数列，且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：
1
Sm
+
1
Sn
≥
2
Sk
．

难度：较难

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6．已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m，a_n使得

aman

=4a₁，则

的最小值为（　　）

A．

B．

C．

D．不存在

难度：较难

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7．数列{a_n}的前n项和为Sn=2n+1-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差为d（d≠0）的等差数列，且b₁，b₃，b₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若cn=
2
bn+2•log2an
，数列{c_n}的前n项和为 T_n，求证：Tn＜
3
4
．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}是公比为正整数的等比数列，若a₂=2且a₁，a₃+
1
2
，a₄成等差数列，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）定义：
n
P1+P2+…+Pn
为n个正数P₁，P₂，P₃，…，P_n（ n∈N*）的“均倒数”，
（ⅰ）若数列{b_n}前n项的“均倒数”为
1
2an-1
（n∈N*），求数列{b_n}的通项b_n；
（ⅱ）试比较
1
b1
+
2
b2
+…+
n
bn
与2的大小，并说明理由．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}各项均不为0，其前n项和为S_n，且对任意n∈N^*都有（1-p）S_n=p-pa_n（p为大于1的常数），记f（n）=
1+
C
1
n
a1+
C
2
n
a2+…+
C
n
n
an
2nSn
．
（1）求a_n；
（2）求证：f（1）+f（2）+…+f（2n-1）≥（2n-1）f（n），（n∈N^*）．

难度：较难

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10．已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1，其中n≥2，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并求其通项公式；
（2）设b_n=
1
(an+1)(an-1)
，T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n的取值范围；
（3）设c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

难度：较难

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