知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=
1
1+px+qx2
（其中p²+q²≠0），且存在公差不为0的无穷等差数列{a_n}，使得函数在其定义域内还可以表示为f（x）=1+a₁x+a₂x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…
（1）求a₁，a₂的值（用p，q表示）；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）当n∈N^*且n≥2时，比较（a_n-1）^a_n与（a_n） an-1的大小．

难度：中等

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2．已知数列{x_n}满足x₁=1，x₂=λ，并且
xn+1
xn
=λ
xn
xn-1
（λ为非零常数，n=2，3，4，…）．
（Ⅰ）若x₁，x₃，x₅成等比数列，求λ的值；
（Ⅱ）设0＜λ＜1，常数k∈N^*，证明
x1+k
x1
+
x2+k
x2
+…+
xn+k
xn
＜
λk
1-λk
(n∈N*)．

难度：中等

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3．在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项的和，已知a₁+a₃=22，S₅=45．
（1）求a_n，S_n；
（2）设数列{S_n}中最大项为S_k，求k．

难度：较易

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4．已知等比数列{a_n}的前n项和S_n，首项a₁=a，公比为q（q≠0且q≠1）．
（1）推导证明：S_n=
a(1-qn)
1-q
；
（2）等比数列{a_n}中，是否存在连续的三项：a_k、a_k+1、a_k+2，使得这三项成等差数列？若存在，求出符合条件的等比数列公比q的值，若不存在，说明理由；
（3）本题中，若a=q=2，已知数列{na_n}的前n项和T_n，是否存在正整数n，使得T_n≥2016？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁=1，a_n+1=
an
an+3
（n∈N^*）．
（1）求证：{
1
an
+
1
2
}是等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）.
n
2n
．a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，
若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+
n
2n-1
对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

难度：较难

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6．已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₄=20，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog
1
2
a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a_n=3^f（n），n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
an
2n
，T_n=b₁+b₂+…b_n，求证：T_n＜3．

难度：中等

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8．函数f(x)=
3x
2x+3
，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
（I）求证：数列{
1
an
}是等差数列；
（II）令b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，s_n=b₁+b₂+…+b_n，若Sn＜
m-2003
2
对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

难度：较难

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9．已知递增等比数列{a_n}，满足a₁=1，且a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n+
1
2
，求数列{a_n²•b_n}的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，令c_n=
1
bnbn+1bn+2
，{c_n}的前n项和为T_n，若T_n＞λ恒成立，求λ的取值范围．

难度：较难

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10．在数列{a_n}中，a₁=
5
3
，且3a_n+1=a_n+2．
（1）设b_n=a_n-1，证明：数列{b_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公项；
（2）设cn=lo
g
(an-1)2
4
3
，数列{
1
cncn+2
}的前n项和为T_n，是否存在最小的正整数m，使得对于任意的n∈N^*，均有T_n＜
m
16
成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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