知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，对任意的n∈N^*都有a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹-2ⁿ，记b_n=
an-2n
3n
（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求S_n；
（3）证明：存在k∈N^*，使得
an+1
an
≤
ak+1
ak
．

难度：较难

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2．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+1=2S_n+a₁，且a₁，a₂+2，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）证明
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
＜
3
2
对任意正整n成立．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=ax+
a-1
x
+（1-2a）（a＞0）
（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）+
n
2(n+1)
（n≥1）．

难度：较难

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4．已知数列{a_n}满足：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=
n2
2
（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前n项和，对于任意的正整数n，S_n＞2λ-
1
3
恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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5．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=
an
2an+1
（n∈N）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当n≥2，n∈N时，不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞
12
35
（log₃m-log₂m+1）恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}中各项都不为零，且a₁=1，a_n+1=
an
3+2an

（1）证明：数列{
1
an
+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：
a1
a1+1
+
a2
a2+1
+
a3
a3+1
+…+
an
an+1
＜
3
4
．

难度：中等

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7．正项数列{a_n}的前n项和S_n满足12S_n=
a
2
n
+6a_n+5．且a₁＜2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使T_n＜
m
20
对所有n∈N^*都成立的最小正整数m；
（3）记C_n=
1
2
（
an+1
an
+
an
an+1
）（n∈N^*），求和：B_n=C₁+C₂+…+C_n．

难度：中等

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8． S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，都有S_n=2a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{
1
an
}的前n项和为T_n，求使得|T_n-2|＜
1
500
成立的n的最小值．

难度：中等

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9．已知函数f（x）的定义域为实数集R，
（1）若函数f（x）=2^xsin（πx），证明f（x+2）=4f（x）；
（2）若f（x+T）=kf（x）（k＞0，T＞0），若f（x）=a^xφ（x）（其中a为正的常数），试证明函数φ（x）是以T为周期的周期函数；
（3）若f（x+6）=
2
f（x），且当x∈[-3，3]时，f（x）=
1
10
x（x²-9），记S_n=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n-2）n∈N^*，求使得S₁、S₂、S₃…S_n小于1000都成立的最大整数n．

难度：较难

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10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-2．（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若x_n=1+
1
an
，设数列{x_n}的前n项积为T_n，求证：
①（1+
1
2n-1
）＜（1+
1
2n
）²（n∈N^*）；
②T_n≤2（1+
1
2n
） 2n-2（n∈N^*）．

难度：中等

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