知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1-a_n=sin
(n+1)π
2
，记S_n为数列{a_n}的前n项和，则S₂₀₁₄= ．

难度：较难

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2．（2015秋•江西校级期末）在公比为2的等比数列{a_n}中，a₂与a₃的等差中项是9
3
．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）若函数y=|a₁|sin（
π
4
x+φ），|φ|＜π，的一部分图象如图所示，M（-1，|a₁|），N（3，-|a₁|）为图象上的两点，设∠MPN=β，其中P与坐标原点O重合，0＜β＜π，求tan（φ-β）的值．

难度：中等

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3．已知在△ABC中，三条边a，b、c所对的角分别为A、B，C，向量
m
=（sinA，cosA），
n
=（cosB，sinB），且满足
m
•
n
=sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且
AC
•（
AB
-
AC
）=-8，求边c的值并求△ABC外接圆的面积．

难度：中等

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4．已知函数f(x)=2asinxcosx-
2
a(sinx+cosx)+a+b的定义域为[0，
π
2
]，值域为[-1，2]．
（1）求实数a，b的值；
（2）数列{a_n}中，有an=
n-b
n-a
(n∈N*)．则该数列有最大项、最小项吗？若有，求出数列的最大项、最小项；若没有，请说明理由．

难度：较难

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5．设各项均为正实数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足4Sn=(an+1)2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项公式为bn=
an
an+t
（t∈N^*），若b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N^*）成等差数列，求t和m的值；
（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列{a_n}中的三项an1，an2，an3．

难度：较难

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6．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．
（1）求通项公式a_n；
（2）设{a_n}的前n项和为S_n，问：是否存在正整数m、n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m，n），若不存在，请说明理由．

难度：较难

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7．已知f（x）=2sin（
π
3
x+
π
6
），集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a_n}（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：b 1=1，bn+1=bn+a2n，求{b_n}的通项公式．

难度：中等

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8．在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：tan(k+1)•tank=
tan(k+1)-tank
tan1
-1，k∈N*．
（Ⅲ）设b_n=tana_n•tana_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：较难

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9．已知△ABC的三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知△ABC周长为6，|
BC
|，|
CA
|，|
AB
|成等比数列．
求：
（1）∠B的取值范围；
（2）边b的取值范围；
（3）
BA
•
BC
的最小值．

难度：较难

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10．已知数列{an} (n∈N*)满足：a1=1，an+1-sin2θ•an=cos2θ•cos2nθ，其中θ∈(0，
π
2
)．
（1）当θ=
π
4
时，求{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若数列{b_n}中，bn=sin
πan
2
+cos
πan-1
4
(n∈N*，n≥2)，且b₁=1．求证：对于∀n∈N*，1≤bn≤
2
恒成立；
（3）对于θ∈(0，
π
2
)，设{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n+2与
4
sin22θ
的大小．

难度：较难

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