知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若数列{a_n}满足条件：存在正整数k，使得
an+k
an
=
an
an-k
对一切n∈N^*，n＞k都成立，则称数列{a_n}为k级等比数列．
（1）若a_n=2ⁿsin（ωn+
π
6
）（ω为常数），且{a_n}是3级等比数列，求ω所有可能值的集合；
（2）若正项数列{a_n}既为2级等比数列，也为3级等比数列，证明：{a_n}为等比数列．

难度：较难

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2．已知数列{a_n}满足a_n+1=
1
2-an
（n∈N^*），a₁=0，记数列{a_n}的前n项和为S_n，c_n=S_n-n+1+lnn．
（Ⅰ）令b_n=
1
1-an
，求证数列{b_n}为等差数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）证明：（ i）对任意正整数n，|sin（b_n•θ）|≤b_n|sinθ|；
（ ii）数列{c_n}从第2项开始是递增数列．

难度：较难

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3．已知数列{a_n}满足：a₁=
1
2
，a_n+1=sin（
π
2
a_n），n∈N^*
（Ⅰ）求证：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅱ）求证：sin[
π
4
（1-a_n）]＜
1
2
；
（Ⅲ）求证：a_n≥1-
1
2
（
π
4
）^n-1．

难度：较难

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4．设S_n是各项均为非零实数的数列{a_n}的前n项和，给出如下两个命题：命题p：{a_n}是等差数列；命题q：等式
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
=
kn+b
a1an+1
对任意的n（n∈N^*）恒成立，其中k，b是常数．
（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；
（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a_n}满足条件a₁²+a_n+1²≤M，试求S_n的最大值．

难度：较难

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5．已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x）
（1）求f（x）的表达式；
（2）定义正数数列{a_n}；a₁=
1
2
，a_n+1²=2a_n•f（a_n）（n∈N^*）．试求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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6． △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，三个内角A，B，C成等差数列．
（1）若cosC=
6
3
，求c；
（2）求
BA
•
BC
的最大值．

难度：中等

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7．数列{a_n}的通项公式为a_n=n²•cos
2nπ
3
(n∈N*)，其前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_3n-2+a_3n-1+a_3n及S_3n的表达式；
（Ⅱ）若b_n=
S3n
n•2n-1
，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若c_n=
1
4
S
2
3n+1
-1
，令f（n）=c₁+c₂+…+c_n，求f（n）的取值范围．

难度：较难

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8．已知向量
an
=（cos2nθ，sinnθ），
bn
=（1，2sinnθ）（n∈N^*），若C_n=
an
•
bn
+2ⁿ，
（1）求数列{C_n}的通项公式；
（2）求数列{C_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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9．在△ABC中，内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．
（1）若sinA，sinB，sinC 成等差数列，试判断△ABC的形状；
（2）若B=30°，S_△ABC=
3
2
，求b．

难度：中等

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10．对于数列{a_n}，有a₀=1，a_i∈[0，
π
2
]，tana_n=
1+tan2an-1
-1
tanan-1
，求a₁₀₀．

难度：中等

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