知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在边长为1的正△ABC中，
BC
=2
BD
，
AC
=3
EC
，AD与BE相交于点F．
（1）求
AD
•
BE
的值；
（2）若
AF
=λ
FD
，求实数λ的值．

难度：中等

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2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC=3，点M满足
BM
=2
MA
，
（1）用
CA
、
CB
向量表示向量
CM
．
（2）求|
CM
|．

难度：中等

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3．已知非零向量
e1
，
.
e2
不共线．
（1）如果
AB
=
e1
+
.
e2
，
BC
=2
e1
+8
.
e2
，
.
CD
=3（
e1
-
.
e2
），求证：A、B、D三点共线；
（2）已知
AB
=
e1
+
.
e2
，
BC
=-λ
e1
-8
.
e2
，
.
CD
=3
e1
-3
.
e2
，若A、B、D三点在同一条直线上，求实数λ的值．

难度：较易

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4．已知向量l如图所示，求作：
a
=
1
4
l，
b
=-2l．

难度：中等

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5．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点
（1）试用向量证明：PQ∥AB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值．

难度：中等

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6．已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且
CF
=
2
3
CB
，
CG
=
2
3
CD
，求证：四边形EFGH是梯形．

难度：较易

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7．把下面题中的向量
b
表示为实数与向量
a
的积：
（1）
a
=-2
e
，
b
=6
e
；
（2）
a
=8
e
，
b
=-14
e
；
（3）
a
=-
2
3
e
，
b
=
1
3
e
．

难度：中等

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8．已知λ＞0，
OP
=
OA
+λ（
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
），求证：直线AP必经过△ABC的内心．

难度：中等

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9．已知等比数列{x_n}的各项为不等于1的正数，数列{y_n}满足
yn
logaxn
=2（a＞0，a≠1）．设y₃=18，y₆=12．
（1）证明{y_n}为等差数列；
（2）求数列{y_n}的前n项和的最大值？

难度：中等

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10．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足a=
3-b
+
b-3
-1，现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD、CD．
（1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积S_{四边形ABDC}；
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA、PB，使S_△PAB=S_{四边形ABDC}，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由；
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC、PO，当点P在BD上移动时（不与B、D重合）
∠DCP+∠CPO
∠BOP
的值是否发生变化，并说明理由．

难度：中等

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