知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=
2an
2+an
（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄，猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）根据（1）中的猜想，用三段论证明数列{
1
an
}是等差数列．

难度：较易

解析收藏试题篮
2．如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，运用三段论证明BD⊥平面PAC．

难度：中等

解析收藏试题篮
3．包含甲在内的甲、乙、丙3个人练习传球，设传球n次，每人每次只能传一下，首先从甲手中传出，第n次仍传给甲，共有多少种不同的方法？为了解决上述问题，设传球n次，第n次仍传给甲的传球方法种数为a_n；设传球n次，第n次不传给甲的传球方法种数为b_n．根据以上假设回答下列问题：
（1）求出a₁，a₂，b₁的值；
（2）根据你的理解写出a_n+1与b_n的关系式；
（3）求a₅的值及通项公式a_n．

难度：中等

解析收藏试题篮
4．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并写出其通项公式；
（Ⅱ）用三段论证明数列{a_n}是等比数列．

难度：中等

解析收藏试题篮
5．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
④sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
（1）利用计算器求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，请你写出一个三角恒等式，使得上述五个等式是这个恒等式的特殊情况；
（3）证明你写出的三角恒等式．

难度：较难

解析收藏试题篮
6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=3-2S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并猜想a_n的表达式．
（Ⅱ）若猜想的结论正确，用三段论证明证明数列{a_n}是等比数列？

难度：中等

解析收藏试题篮
7．数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁，且对任意正整数n，{a_n}中小于等于n的项数恰为b_n；{b_n}中小于等于n的项数恰为a_n．
（1）求a₁；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：较难

解析收藏试题篮
8．设S是由2n个人组成的集合．求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数．

难度：中等

解析收藏试题篮
9．过任意四边形内任意一点，将四边形分成面积相等的两部分，请作图说明．

难度：较易

解析收藏试题篮
10．如图，从圆O外一点P作圆O两条切线，切点分别为A，B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O，C，P，D四点共圆．

难度：较难

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷